【TSP问题】基于混合离散卷尾猴优化算法用于解决大规模多重旅行商问题附Matlab代码-优快云博客

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摘要：多重旅行商问题（Multiple Traveling Salesman Problem，MTSP）作为旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP）的拓展，在物流配送、车辆路径规划、应急资源调度等领域具有广泛的应用价值。然而，随着问题规模的增大，传统的求解方法面临计算复杂度指数级增长的挑战。针对大规模MTSP，本文提出一种基于混合离散卷尾猴优化算法（Hybrid Discrete Capuchin Search Algorithm，HDCapSA）。该算法融合了卷尾猴搜索算法（Capuchin Search Algorithm，CapSA）的全局搜索能力和多种离散优化策略，有效提升了算法的寻优性能。实验结果表明，HDCapSA在解决大规模MTSP问题上具有良好的效率和精度，能够获得较优的解决方案。

关键词：多重旅行商问题；卷尾猴搜索算法；离散优化；全局搜索；大规模问题

1. 引言

旅行商问题（TSP）是最经典的组合优化问题之一，其目标是寻找一条能够访问所有给定城市且路径总长度最短的路线，并最终返回起点。多重旅行商问题（MTSP）是TSP的拓展，它涉及多个旅行商从同一地点出发，访问一组城市，每个城市必须被访问且仅被访问一次，最终所有旅行商返回起点，目标是最小化所有旅行商的总旅行距离。MTSP相比于TSP更贴合实际应用场景，例如物流配送中的多车辆路径规划、救援行动中的多团队调度等。

然而，MTSP的求解难度随着问题规模的增大而呈指数级增长，属于NP-hard问题。对于小规模MTSP，可以采用精确算法，如分支定界法、动态规划法等进行求解。但对于大规模MTSP，精确算法往往难以在可接受的时间内找到最优解。因此，近年来，启发式算法和元启发式算法得到了广泛应用。

启发式算法通常基于问题的特定知识设计，求解速度快，但容易陷入局部最优解。元启发式算法则通过模拟自然界的现象或生物进化过程，能够在更大范围内进行搜索，具有较强的全局搜索能力。常见的元启发式算法包括遗传算法（Genetic Algorithm，GA）、模拟退火算法（Simulated Annealing，SA）、粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization，PSO）等。

卷尾猴搜索算法（Capuchin Search Algorithm，CapSA）是一种新兴的元启发式算法，其灵感来源于卷尾猴的攀爬和跳跃行为。该算法具有参数少、易于实现、全局搜索能力强等优点，在连续优化问题中取得了良好的效果。然而，MTSP是一个离散优化问题，CapSA无法直接应用于求解。因此，本文提出一种基于混合离散卷尾猴优化算法（HDCapSA），通过引入离散编码方式和离散优化策略，将CapSA扩展到MTSP的求解。

2. 多重旅行商问题（MTSP）描述

约束条件解释如下：

第一个约束条件保证了每个城市（除了起始城市）都被一个旅行商访问一次。
第二个约束条件保证了每个城市进出的旅行商数量相等。
第三个约束条件保证了每个旅行商都从起始城市出发。
第四个约束条件避免了子回路的出现。
第五个约束条件定义了决策变量的取值范围。

3. 混合离散卷尾猴优化算法（HDCapSA）

为了解决大规模MTSP问题，本文提出了一种基于混合离散卷尾猴优化算法（HDCapSA）。该算法主要包括以下几个步骤：

3.1 编码方式

对于MTSP，需要将解表示成一种能够在算法中操作的形式。本文采用一种基于城市序列的编码方式。具体来说，一个解表示为一个长度为 𝑛n 的城市序列，其中 𝑛n 是城市总数。序列中的城市按照被旅行商访问的顺序排列。为了表示不同的旅行商，在序列中插入分隔符。分隔符的数量为 𝑚−1m−1，其中 𝑚m 是旅行商的数量。

例如，假设有 5 个城市（包括起始城市）和 2 个旅行商，一个可能的解如下：

1 2 3 | 1 4 5

其中，1 代表起始城市，| 是分隔符。该解表示第一个旅行商的路径是 1 -> 2 -> 3 -> 1，第二个旅行商的路径是 1 -> 4 -> 5 -> 1。

3.2 初始化种群

初始化阶段，随机生成一组解，构成初始种群。为了保证初始种群的多样性，可以采用以下方法：

随机插入分隔符：将分隔符随机插入城市序列中，确保每个旅行商至少访问一个城市。
基于贪婪算法的初始化：首先为每个旅行商随机分配一个城市，然后使用贪婪算法，每次选择距离当前城市最近的未访问城市进行扩展。

3.3 离散卷尾猴搜索算法

HDCapSA的核心是基于离散算子的卷尾猴搜索算法。CapSA模拟卷尾猴的攀爬和跳跃行为，通过迭代更新猴子的位置来搜索最优解。在HDCapSA中，需要将CapSA的连续算子转换为离散算子。

位置更新：在标准的CapSA中，猴子的位置更新公式如下：

𝑥𝑖(𝑡+1)=𝑥𝑖(𝑡)+𝛼∗(𝑥𝑏𝑒𝑠𝑡(𝑡)−𝑥𝑖(𝑡))+𝛽∗(𝑥𝑟(𝑡)−𝑥𝑖(𝑡))

为了将其应用于离散空间，本文采用以下策略：

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* **基于交换算子的位置更新：** 将位置更新公式转换为基于交换算子的操作。具体来说，计算 $x_{best}(t)$ 和 $x_i(t)$ 之间的差异，以及 $x_r(t)$ 和 $x_i(t)$ 之间的差异。然后，随机选择几个城市对进行交换，使得 $x_i(t+1)$ 逐渐接近 $x_{best}(t)$ 和 $x_r(t)$。交换的概率由 $\alpha$ 和 $\beta$ 控制。 * **插入算子：** 从 $x_{best}(t)$ 或 $x_r(t)$ 中随机选择一个城市，插入到 $x_i(t)$ 的随机位置。

跳跃算子： CapSA中的跳跃算子模拟猴子的跳跃行为，用于增加种群的多样性。在HDCapSA中，可以采用以下跳跃算子：
- 逆转算子：随机选择一段城市序列，将其逆转。
- 互换算子：随机选择两个旅行商，交换它们的部分城市序列。

3.4 局部搜索策略

为了提高算法的局部搜索能力，本文引入了一种基于2-opt算法的局部搜索策略。2-opt算法是一种常用的局部搜索算法，通过交换路径中的两条边来减少路径长度。在HDCapSA中，对每个旅行商的路径单独执行2-opt算法，以优化其路径长度。

3.5 算法流程

HDCapSA的算法流程如下：

初始化：设置参数（种群大小、迭代次数、交换概率等），随机生成初始种群。
评估：计算每个解的适应度值（总旅行距离）。
迭代：
- 选择最优解。
- 对于种群中的每个解，执行离散卷尾猴搜索算法（位置更新和跳跃算子）。
- 执行局部搜索策略（2-opt算法）。
- 评估更新后的解的适应度值。
终止条件判断：如果满足终止条件（达到最大迭代次数或找到足够好的解），则停止迭代，否则返回步骤 3。
输出：输出最优解。