【钟摆问题】二次最优调节器求解钟摆问题Matlab实现-优快云博客

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🔥 内容介绍

摘要: 本文探讨了利用二次最优调节器 (Linear Quadratic Regulator, LQR) 求解经典钟摆摆角控制问题的 Matlab 实现。首先，对钟摆系统进行动力学建模，推导出其状态空间表达式。然后，详细介绍了 LQR 控制器的设计原理，包括代价函数的构造、Riccati 方程的求解以及反馈增益矩阵的计算。最后，通过 Matlab 仿真，验证了 LQR 控制器的有效性，并分析了不同代价函数权重矩阵对系统性能的影响。文章旨在为读者提供一个完整的、可操作的 LQR 控制器设计流程，并深入探讨其在非线性系统控制中的应用。

关键词: 钟摆问题; 二次最优调节器 (LQR); 状态空间模型; Riccati 方程; Matlab 仿真

1. 钟摆系统动力学建模

考虑一个单摆系统，其摆长为 l，摆锤质量为 m，重力加速度为 g。忽略空气阻力和摩擦力，则系统的动力学方程可由牛顿第二定律推导得到：

mlθ̈ = -mgsinθ

其中，θ 表示摆角。为了便于用 LQR 进行控制，需要将该非线性系统线性化。在平衡点 θ = 0 附近，sinθ ≈ θ，则线性化后的动力学方程为：

mlθ̈ = -mgθ
ẋ₂ = -g/l * x₁

将其写成矩阵形式：

[ẋ₁] [0 1] [x₁] [ẋ₂] = [-g/l 0] [x₂]

系统矩阵 A = [[0, 1], [-g/l, 0]]，无控制输入。为了引入控制，假设施加一个力矩 u 来控制钟摆，则线性化后的状态空间方程变为：

[ẋ₁] [0 1] [x₁] [0] [u] [ẋ₂] = [-g/l 0] [x₂] + [1/ml] [u]

其中，B = [[0], [1/ml]] 为控制矩阵。

2. LQR 控制器设计

LQR 控制器旨在最小化一个二次型代价函数，其一般形式为：

J = ∫₀^∞ (xᵀQx + uᵀRu)dt

其中，Q 为状态权重矩阵，R 为控制权重矩阵，均为对称半正定矩阵。Q 反映了对状态偏差的惩罚程度，R 反映了对控制能量的惩罚程度。Q 和 R 的选择会直接影响系统的性能。

LQR 问题的求解依赖于求解代数 Riccati 方程 (ARE)：

ATP + PA - PBR⁻¹BᵀP + Q = 0

其中，P 为 Riccati 方程的解，一个对称半正定矩阵。求解该方程后，可以得到最优反馈增益矩阵 K：

K = R⁻¹BᵀP

最优控制律为：

u = -Kx

该控制律将状态反馈到系统，从而实现对钟摆的稳定控制。

3. Matlab 实现

利用 Matlab 的控制系统工具箱，可以方便地实现 LQR 控制器设计和仿真。以下代码展示了具体的实现步骤：

matlab

tspan = [0 10]; x0 = [pi/4; 0]; % 初始状态 [t,x] = ode45(@(t,x) Ac*x, tspan, x0); % 绘图 figure; plot(t,x(:,1)); xlabel('时间(s)'); ylabel('摆角(rad)'); title('钟摆摆角随时间的变化'); figure; plot(t,x(:,2)); xlabel('时间(s)'); ylabel('角速度(rad/s)'); title('钟摆角速度随时间的变化'); % 显示反馈增益矩阵 disp('反馈增益矩阵 K:'); disp(K);

该代码首先定义了系统的参数和状态空间模型，然后根据预设的 Q 和 R 矩阵求解 Riccati 方程和反馈增益矩阵 K。最后，通过 ode45 函数进行系统仿真，并绘制摆角和角速度随时间的变化曲线。

4. 结果分析与讨论

通过改变 Q 和 R 矩阵中的权重系数，可以观察到不同的控制效果。例如，增大 Q 中的元素，会使得系统更快速地收敛到平衡点，但同时也可能导致控制输入较大。增大 R 的值，则会减小控制输入的幅度，但收敛速度会相应减慢。因此，Q 和 R 的选择需要根据实际应用需求进行权衡。

本文仅考虑了线性化后的钟摆模型。对于大角度摆动的情况，线性化模型的精度会下降，需要考虑非线性控制方法，例如反步法或滑模控制等。此外，实际系统中存在摩擦力等干扰，也需要在控制器设计中进行考虑。

5. 结论

本文详细介绍了利用 LQR 控制器求解钟摆控制问题的 Matlab 实现过程。通过 Matlab 仿真验证了 LQR 控制器的有效性，并分析了不同代价函数权重矩阵对系统性能的影响。该方法为非线性系统的控制提供了一种有效的途径，但同时也需要根据实际情况选择合适的参数和控制方法。未来的研究可以关注非线性钟摆模型的控制以及鲁棒控制方法的应用。