AC 自动机学习笔记

前言

AC 自动机用于处理多模式串匹配长字符串问题。

前置知识：Trie KMP

实现

About fail

先给所有模式串建一个 Trie，然后使用一个 fail 指针。

fail[u] 指向结点 $u$ 所代表的字符串的最长在 Trie 上存在的后缀。

假如 $u$ 的父亲是 $p$，并且 $(u,p)$ 表示字符 $c$，那么如果 fail[p] 有 $c$ 这个儿子，那么 fail[u] = t[fail[p]][c]，否则看 fail[fail[p]] 有没有 $c$ 这个儿子，直到 $p=0$，不存在后缀，那么 $fail[u]=fail[0]=0$。

注意，由于 fail 指针是在比 $u$ 深度小的字符串上乱跳的，所以要 bfs 处理。

void build(){
	queue<int> q;
	for(int i = 0;i < 26;i++)
		if(tr[0][i])
			q.push(tr[0][i]);
	while(!q.empty()){
		int i = q.top();	q.pop();
		for(int i = 0;i < 26;i++){
			if(tr[u][i]){
				fail[tr[u][i]] = tr[fail[u]][i];
				q.push(tr[u][i]);
			}
			else
				tr[u][i] = tr[fail[u]][i];
		}
	}
}

代码里面有一个很妙的点，就是这句：

else
	tr[u][i] = tr[fail[u]][i];

我们发现，之前如果在跳 fail 指针的时候继续跳的条件就是不存在 $i$ 儿子。那么我在不存在的儿子上面直接先跳，相当于一个路径压缩，可达大大提高效率。

About query

关于 AC 自动机是如何匹配的。

核心思想是每次找儿子，如果没有儿子的话就跳 fail 指针，直到有儿子。

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P3808

先看例题：假如我们想知道现在有几个模式串在长字符串里。

int query(string str){
	int len = str.size();
	int u = 0, ans = 0;
	for(auto c : str){
		u = tr[u][c - 'a'];// 指向结点的 c 儿子
		for(int v = u;v && cnt[v] != -1;v = fail[v]){// 一直找 fail 指针，直到找到之前找过的路。
		// 容易发现只有当找到（表示模式串的结点）的时候才有贡献，所以其他时候 ans += cnt[v] 这句话是没用的
			ans += cnt[v];
			cnt[v] = -1;
		} 
	}
}

我们知道假儿子实际上指向的是 fail 指针，所以 u = tr[u][c - 'a'] 相当于跳了 fail 指针。

然后我们要找这个字符串表示的后缀中有多少个模式串，继续跳 fail，直到找过了。

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P3796

再看例题：我们要求在长字符串中出现次数最多的若干个模式串。

void query(string str){
	int u = 0;
	for(auto c : str){
		u = t[u][c - 'a'];// 指向结点的 c 儿子
		for(int v = u; v; v = fail[v]){// 一直找 fail 指针。
		// 容易发现只有当找到（表示模式串的结点）的时候才有贡献，所以其他时候这句话是没用的
			ans[f[v]].first++;
		} 
	}
}

其中，f[i] 表示在字典树中以 $i$ 结尾的结点所表示的模式串编号。若 $i$ 不表示模式串结尾，那么 $f_i=0$，这个时候，ans[f[v]] 无论怎么加，对答案都没有贡献。

关于 AC 自动机的套路

Fail 树

在 AC 自动机上面，满足一个奇妙的性质：fail 指针构成了一棵树。

假如我们需要统计每个模式串在长字符串中出现的次数，用上面的做法会 TLE。

我们知道，上面的做法实际上是将这个点到根的 fail 链上的所有结点都 $+1$，如果结点刚好表示一个模式串，那么对答案的共享就 $+1$。

实际上，我们只要在结点上打标机，表示从结点到跟的所有经过的点都 $+1$。

最后，再进行一次树形 dp 即可。

$$s_u=\sum _{v\in son(u)}{s}_v$$

例题 P5357，统计每个模式串在长字符串中出现的次数。

思路如上，没有细节。