C++：AVL树

目录

1：AVL树的概念

2：AVL树的性质

 3：AVL树节点的定义

4： AVL树的插入

5：AVL树的旋转

6. AVL树的验证

7. AVL树的性能

8. AVL树的实现

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1：AVL树的概念

二叉搜索树（BST）的问题：

1. 有序数据：如果插入的数据本身是有序的，或者接近有序，那么在二叉搜索树中，这些数据可能会形成一条链（单支树），导致树的高度接近数据的数量级。

2. 性能退化：在最坏的情况下，BST的性能会退化成线性结构，即顺序表，此时查找操作的时间复杂度为 O(n)，n 是树中元素的数量。

自平衡二叉搜索树（balanced binary search tree）的解决方案：

为了解决上述问题，保持二叉搜索树的平衡非常重要。两位俄罗斯数学家 G.M.Adelson-Velskii 和 E.M.Landis 在 1962 年提出了自平衡二叉搜索树的概念：

1. 平衡条件：自平衡二叉搜索树要求任何节点的左右子树的高度（或深度）之差的绝对值不超过 1。

2. 自动调整：当新节点插入或旧节点删除后，自平衡二叉搜索树会自动进行调整，以保持平衡条件。

3. 降低树高：通过保持树的平衡，树的高度被控制在 O(log n)，从而确保大多数操作（如搜索、插入、删除）的平均时间复杂度也是 O(log n)。

常见的自平衡二叉搜索树：

1. AVL 树：一种严格平衡的二叉搜索树，它在每次插入或删除操作后通过旋转保持平衡。

2. 红黑树：另一种自平衡的二叉搜索树，它通过颜色规则和旋转来保持平衡，允许更灵活的插入和删除操作。

2：AVL树的性质

 一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

        A：它的左右子树都是AVL树。

        B：左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)。

        D：平衡因子（balance factor）：节点左子树的高度减去右子树的高度。

        如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在O(log n)，搜索时间复杂度O(log n)。