DP1线性动态规划４题.

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本文精选了四个典型算法问题，包括最长公共子序列、合唱队形安排、渡轮友好城镇连接及最长不下降子序列，通过具体实例展示了如何利用动态规划等方法解决实际问题。

例4 LCS(最长公共子序列)

一个给定序列的子序列是在该序列中删去若干元素后得到的序列。确切地说，若给定序列X=<>,若另一序列Z=<>是X的子序列，是指存在一个严格递增的下标序列<>，使得对于所有j=1,2,…,k有

例如，序列Z=<B,C,D,B>是序列X=<A,B,C,D,A,B>的子序列，相应的递增下标序列为<2,3,5,7>。

给定两个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。例如，若X=<A,B,C,B,D,A,B>和Y=<B,D,C,A,B,A>，则序列<B,C,A>是X和Y的一个公共子序列，序列<B,C,B,A>也是X和Y的一个公共子序列。而且，后者是X和Y的一个最长公共子序列，因为X和Y没有长度大于4的公共子序列。

最长公共子序列(LCS)问题：给定两个序列X=<>和Y=<>,要求找出X和Y的一个最长公共子序列。

输入文件：

第一行为一个整数n(1≤n≤5000),表示X序列的长度；

第二行为长度为n的X序列；

第三行为一个整数m(1≤m≤5000)，表示Y序列的长度；

第四行为长度为m的Y序列。

输出文件：

X和Y序列的最长公共子序列的长度。

输入样例：

ABCBDAB

BDCABA

输出样例：

#4.
#include <bits/stdc++.h>
#define N 5010
using namespace std;

char a[N],b[N];

int s[N][N];
int main()
{
    int n,m;
    char c;

    scanf("%d",&n);
    getchar();
    scanf("%s",a);
    getchar();
    scanf("%d",&m);
    getchar();
    scanf("%s",b);

    for(int i=0;i<n;++i)
    {
        for(int j=0;j<m;++j)
        {
            if(i==0&&j==0) s[i][j]=1;
            else if(a[i]==b[j]&&i!=0&&j!=0) s[i][j]=s[i-1][j-1]+1;
            else s[i][j]=max((i-1)>=0?s[i-1][j]:0,(j-1)>0?s[i][j-1]:0);
        }
    }

    printf("%d\n",s[n-1][m-1]);
    return 0;
}

例3 合唱队形(NOIP2004)

N位同学站成一排，音乐老师要请其中的(N-K)位同学出列，使得剩下的K位同学排成合唱队形。合唱队形是指这样的一种队形：设K位同学从左到右依次编号为1,2,…,K,他们的身高分别为,,…,,则他们的身高满足 (1≤i≤K)。

你的任务是，已知所有N位同学的身高，计算最少需要几位同学出列，可以使得剩下的同学排成合唱队形。

输入文件：

输入文件的第一行是一个整数N(2≤N≤100),表示同学的总数。第一行有n个整数，用空格分隔，第i个整数T_i(130≤T_i≤230)是第i位同学的身高(厘米)。

输出文件：

输出文件包括一行，这一行只包含一个整数，就是最少需要几位同学出列。

输入样例：

186 186 150 200 160 130 197 220

输出样例：

数据规模：

对于50%的数据，保证有N≤20;

对于全部的数据，保证有N≤100。

#3.
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    int n;
    int hei[110];
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        scanf("%d",&hei[i]);

    int maxx=0;
    for(int i=2;i<n;++i)
    {
        int f[110];
        int p[110];
        for(int j=1;j<=n;++j)
            f[j]=1;
        for(int j=1;j<=n;++j)
            p[j]=1;
        for(int j=2;j<=i;++j)
        {
            for(int k=1;k<j;++k)
            {
                if(hei[j]>hei[k]) f[j]=max(f[j],f[k]+1);
                else {f[j]=f[j-1];break;}
            }
        }


        for(int j=i+1;j<=n;++j)
        {
            for(int k=i;k<j;++k)
            {
                if(hei[j]<hei[k]) p[j]=max(p[j],p[k]+1);
                else {p[j]=p[j-1];break;}
            }
        }
        //cout<<f[i]<<" "<<p[n]<<endl;
        maxx=max(maxx,f[i]+p[n]-1);
        //cout<<n-maxx<<endl;
    }

    printf("%d\n",maxx);
    return 0;
}

例2 渡轮问题

有一个国家被一条河划分为南北两部分，在南岸和北岸总共有n个城镇，每一城镇在对岸都有唯一的友好城镇。任何两个城镇都没有相同的友好城镇。每一对友好城镇都希望有一条航线来往，于是他们向政府提出了申请。由于河终年有雾，政府决定不允许有任两条航线交叉(如果两条航线交叉，将有很大机会撞船)。

你的任务是编写一个程序来帮政府官员决定他们应拨款兴建哪些航线以使得没有出现交叉的航线数量最多。

输入文件：

南北城市从左到右编号为1 – n(n≤5000);

第一行为n,以下n行每行两个数，表示友好的两个城市。

输出文件：

1 2

2 3

3 4

4 1

输出样例：

#2.
#include <bits/stdc++.h>
#define N 5010
using namespace std;

int main()
{
    int n;
    int a[N],b[N];
    int p[N];

    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        scanf("%d %d",&a[i],&b[i]);
    }

    for(int i=1;i<n;++i)
        for(int j=i+1;j<=n;++j)
        {
            if(a[i]>a[j])
            {
                int aa,bb;
                aa=a[i];
                a[i]=a[j];
                a[j]=aa;
                bb=b[i];
                b[i]=b[j];
                b[j]=bb;
            }
        }

    for(int i=1;i<=n;++i)
        p[i]=1;

        for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        for(int j=1;j<n;++j)
        {
            if(b[i]>=b[j]) p[i]=max(p[i],p[j]+1);
            else p[i]=p[i-1];
        }

    }

    printf("%d\n",p[n]);
    return 0;
}

例1 求最长不下降子序列。

由n个不相同的整数组成的数列，记为:a(1),a(2),…,a(n)且a(i)≠a(j)(i≠j),例如，3,18,7,14,10,12,23,41,16,24.若存在i₁<

i₂<i₃<…<i_e且有a(i₁)<a(i₂)<…<a(i_e),则称其为长度为e的不下降子序列。如上例中3,18,23,24就是一个长度为4的不下降子序列，同时也有3,7,10,12,16,24长度为6的不下降子序列。程序要求，当原数列给出之后，求出最长的不下降子序列的数据个数。

输入文件：

第一行为N(1≤N≤5000),第二行为N个整数，之间用空格隔开。

输出文件：

最长的不下降子序列的数据个数。

输入样例：

3 18 7 14 10 12 23 41 16 24

输出样例：

#1.
#include <bits/stdc++.h>
#define N 5010
using namespace std;

int main()
{
    int s[N],f[N];
    int n;
    int maxx=0;

    scanf("%d",&n);

    for(int i=1;i<=n;++i){
        scanf("%d",&s[i]);
        f[i]=1;
    }

    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        for(int j=1;j<n;++j)
        {
            if(s[i]>=s[j]) f[i]=max(f[i],f[j]+1);
            else f[i]=f[i-1];
        }

    }

    printf("%d\n",f[n]);
    return 0;
}