高度为h的平衡二叉树的最少节点数(BFS+队列)

博客围绕平衡二叉树展开,介绍了树的高度及平衡因子的概念,指出所有节点平衡因子在{-1,0,1}中的二叉树为平衡二叉树。要求找出高度为h的平衡二叉树的最少节点数,并给出输入、输出描述及样例。

        树从根结点开始往下数,叶子结点所在的最大层数称为树的高度(根节点在第1层)。 某节点的左子树与右子树的高度(深度)差即为该节点的平衡因子,若一颗二叉树的所有节点的平衡因子都在集合{-1,0,1}中,则称该二叉树为平衡二叉树,现在要求你找出高度为h的平衡二叉树的最少节点数。

输入描述

树的高度h

输出描述

高度为h的平衡二叉树的最少节点数

样例

输入样例:1 输出样例:1

输入样例:2 输出样例:2

输入样例:3 输出样例:4

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
	int n;
	cin>>n;	
	queue<int> que;
	que.push(n);
	int ans=0;
	ans=n;
	while(!que.empty())
	{
		int x=que.front();
		que.pop();
		for(int i=x;i>=1;i--)
		{
			if((x-i)>=2)
			{
				que.push(x-i-1);
				ans+=x-i-1;
			}
		}
	}
	cout<<ans;
}

<think>首先,用户的问题是关于使用BFS和DFS方法遍历统计二叉树节点总数的相关内容。我需要基于提供的系统级指令和用户查询来构建响应。 关键点: - 所有行内数学表达式必须用 `$...$` 格式。 - 独立公式必须用 `$$...$$` 格式并单独成段。 - LaTeX语法正确。 - 使用中文回答。 - 生成相关问题。 - 在回答中引用的段落末尾自然地添加引用标识。 - 参考站内引用:[1], [2], [3], [4] 这些是关于BFS和DFS的,特别是二叉树遍历的相关内容。 用户查询:用户想查找使用BFS和DFS方法遍历统计二叉树节点总数的相关内容。 从引用中提取相关信息: - 引用[2]:标题是“统计二叉树中节点的个数(DFS + BFS)”。其中提到: - DFS方法:使用后序遍历框架,问题分解为统计左子树节点个数 + 统计右子树节点个数 + 1(当前根节点)。 - BFS方法:提到BFS,但没有详细说明。引用中只提到了DFS部分。 - 引用[3]:关于二叉树深度优先(BFS)?!这里有错误,引用[3]说“二叉树深度优先(BFS)”,但BFS是广度优先搜索。可能是笔误或混淆。它说“统计二叉树最大宽度”,并讨论了层序遍历。 - 引用[4]:PAT A1115,使用DFS解题,计算二叉树的节点深度和统计层节点数,但没有直接统计总节点数。 - 引用[1]:关于BFS在矩阵中的应用,不直接相关。 所以,最相关的是引用[2],它明确讨论了DFS和BFS用于统计二叉树节点个数。 我的回答需要: 1. 解释DFS方法。 2. 解释BFS方法。 3. 提供代码示例(如果需要),但用户没有要求代码,只是相关内容。 4. 结构清晰,帮助用户逐步理解。 5. 使用中文。 6. 生成相关问题。 7. 在引用时添加引用标识。 结构回答: - 先介绍问题:统计二叉树节点总数。 - 然后解释DFS方法(深度优先搜索)。 - 再解释BFS方法(广度优先搜索)。 - 最后生成相关问题。 对于DFS方法: - 引用[2]说:使用后序遍历框架,递归地统计左子树节点 + 右子树节点 + 1。 - 这是一个递归方法。 对于BFS方法: - 引用[2]提到BFS,但没有细节。 - BFS通常用于层序遍历,它可以计算出节点总数。 - 基本思路:使用队列遍历所有节点,每访问一个节点就递增计数器。 - 引用[3]提到“二叉树宽度优先遍历”,所以我可以参考它。 添加引用: - 例如,在描述DFS时,说“如引用[2]所示”[^2]。 使用数学表达式: - 可能需要公式,比如节点总数的递归定义。 - 对于一个节点,总节点数 = 左子树节点数 + 右子树节点数 + 1。 - 用行内格式:例如,$ \text{total} = \text{leftCount} + \text{rightCount} + 1 $ - 独立公式如果需要。 生成相关问题: - 在回答结束时生成相关问题,类似示例。 完整响应结构: 1. 简要介绍统计二叉树节点总数。 2. 解释DFS方法。 - 递归实现。 - 公式。 3. 解释BFS方法。 - 使用队列遍历所有节点。 4. 总结比较。 5. 生成相关问题。 </think>### 使用 BFS 和 DFS 遍历统计二叉树节点总数的方法 在二叉树中统计节点总数是一个常见问题,采用深度优先搜索(DFS)或广度优先搜索(BFS)均可实现。以下我将基于站内引用内容,逐步解释两种方法的原理和实现细节。所有解释均使用中文,并确保代码和公式语法正确。 #### 1. **DFS 方法(深度优先搜索)** DFS 通过递归遍历二叉树的每个分支来实现节点统计。核心思想是:每个节点的总节点数等于其左子树节点数加右子树节点数加 1(自身节点)。这通常采用后序遍历框架(先处理左、右子树,再处理根节点)。 - **递归公式**:对于一个节点节点总数可表示为: $ \text{total} = \text{leftCount} + \text{rightCount} + 1 $ 其中: - $\text{leftCount}$ 是左子树节点数, - $\text{rightCount}$ 是右子树节点数, - $+1$ 表示当前节点自身(根节点)[^2]。 - **实现步骤**: 1. 基线条件:如果当前节点为空(即子树为空),返回节点数 0。 2. 递归计算左子树节点数。 3. 递归计算右子树节点数。 4. 汇总结果:$\text{leftCount} + \text{rightCount} + 1$。 示例伪代码(简化自引用[2]和[4]的DFS框架): ```python def count_nodes_with_dfs(root): if root is None: # 基线条件:空节点 return 0 left_count = count_nodes_with_dfs(root.left) # 递归左子树 right_count = count_nodes_with_dfs(root.right) # 递归右子树 return left_count + right_count + 1 # 返回总数 ``` 优点:实现简洁,适合任意树型;缺点:递归可能导致栈溢出(对于极深二叉树)。 #### 2. **BFS 方法(广度优先搜索)** BFS 使用队列遍历二叉树的每一层节点,逐层统计节点数。核心思想是:从根节点开始,依次访问每个节点及其子节点,并在访问时递增计数器。这本质上是层序遍历,确保每个节点只访问一次。 - **算法原理**:初始计数器设为 0,每次从队列移除一个节点时,计数器加 1,并将非空子节点加入队列。遍历结束时,计数器即为总节点数[^3][^2]。 - **实现步骤**: 1. 初始化一个队列(通常用列表或队列结构),并将根节点加入队列。 2. 初始化计数器 $ \text{count} = 0 $。 3. 当队列非空时: - 移除队列节点,计数器加 1(即 $ \text{count} \gets \text{count} + 1 $)。 - 如果该节点有左子节点,加入队列。 - 如果该节点有右子节点,加入队列。 4. 遍历结束后,计数器值即为总节点数。 示例伪代码(基于引用[3]的BFS框架): ```python from collections import deque def count_nodes_with_bfs(root): if root is None: # 处理空树 return 0 queue = deque([root]) # 初始化队列 count = 0 # 计数器 while queue: node = queue.popleft() # 移除头节点 count += 1 # 计数器递增 if node.left is not None: # 检查左子节点 queue.append(node.left) if node.right is not None: # 检查右子节点 queue.append(node.right) return count # 返回总数 ``` 优点:避免递归栈溢出,适合宽树型;缺点:队列空间开销可能较大(对于极宽二叉树)。 #### 3. **方法比较** - **时间复杂度**:两种方法均为 $ O(n) $,其中 $ n $ 是节点总数,因为每个节点只访问一次。 - **空间复杂度**: - DFS:平均 $ O(\log n) $(递归栈深度),最差 $ O(n) $(退化为链表)。 - BFS:平均 $ O(n) $(队列存储节点),最差 $ O(n) $。 - 场景选择:DFS 更适合深度优先分析(如统计子树属性);BFS 更适合宽度优先分析(如统计层节点数或最大宽度)[^2][^3]。 #### 相关问题 1. 如何优化 DFS 方法以避免递归栈溢出? 2. BFS 能否用于统计二叉树的深度?如果可以,如何实现? 3. 在二叉树中,DFS 和 BFS 在应用场景上有什么区别? [^1]: BFS和DFS搜索汇总(未完待续)。 [^2]: 统计二叉树中节点的个数(DFS + BFS)。 [^3]: 两种方式实现: 二叉树深度优先(BFS),统计二叉树最大宽度。 [^4]: PAT A1115(二叉树的遍历,使用BFS或DFS解题)
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