机器学习算法——极大似然估计

本文详细介绍了极大似然估计(MLE)的基本原理,包括离散型与连续型总体的似然函数定义,以及如何通过求解对数似然方程来获得参数的极大似然估计值。同时,文章指出极大似然估计可以视为经验风险最小化的一个实例。

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极大似然估计:

1.若总体X为离散型,其概率分布列为

其中 为为未知参数。设 是取自总体的样本容量为n的样本,则 的联合分布律为 。又设 的一组观测值为 ,易知样本 取到观测值 的概率为

这一概率随 的取值而变化,它是 的函数,称 为样本的似然函数。
2.若总体X为连续型,其概率密度函数为 ,其中 为未知参数。设 是取自总体的样本容量为n的简单样本,则 的联合概率密度函数为 。又设 的一组观测值为 ,则随机点 落在点 的邻边(边长分别为 的n维立方体)内的概率近似地为 。
考虑函数

同样, 称为样本的似然函数。
极大似然估计法原理就是固定样本观测值 ,挑选参数 使

这样得到的 与样本值有关, 称为参数 的极大似然估计值,其相应的统计量 称为 的极大似然估计量。极大似然估计简记为MLE或 。
问题是如何把参数 的极大似然估计 求出。更多场合是利用 是 的增函数,故与 在同一点处达到最大值,于是对似然函数取对数,利用微分学知识转化为求解对数似然方程

解此方程并对解做进一步的判断。但由最值原理,如果最值存在,此方程组求得的驻点即为所求的最值点,就可以很到参数的极大似然估计。极大似然估计法一般属于这种情况,所以可以直接按上述步骤求极大似然估计

在这里插入图片描述
极大似然估计就是经验风险最小化的例子。

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