题目链接
https://leetcode.cn/problems/min-cost-climbing-stairs/
一、题目描述
给你一个整数数组 cost ,其中 cost[i] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用,即可选择向上爬一个或者两个台阶。
你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。
请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。
- 示例 1:
输入:cost = [10,15,20]
输出:15
解释:你将从下标为 1 的台阶开始。 - 支付 15 ,向上爬两个台阶,到达楼梯顶部。
总花费为 15 。 - 示例 2:
输入:cost = [1,100,1,1,1,100,1,1,100,1]
输出:6
解释:你将从下标为 0 的台阶开始。
- 支付 1 ,向上爬两个台阶,到达下标为 2 的台阶。
- 支付 1 ,向上爬两个台阶,到达下标为 4 的台阶。
- 支付 1 ,向上爬两个台阶,到达下标为 6 的台阶。
- 支付 1 ,向上爬一个台阶,到达下标为 7 的台阶。
- 支付 1 ,向上爬两个台阶,到达下标为 9 的台阶。
- 支付 1 ,向上爬一个台阶,到达楼梯顶部。
总花费为 6 。
- 提示:
2 <= cost.length <= 1000
0 <= cost[i] <= 999
二、思路
1.动态规划
1.确定dp数组以及下标的含义
使用动态规划,就要有一个数组来记录状态,本题只需要一个一维数组dp[i]就可以了。
dp[i]的定义:到达第i个台阶所花费的最少体力为dp[i]。
2.确定递推公式
可以有两个途径得到dp[i],一个是dp[i-1] 一个是dp[i-2]。
一定是选最小的,所以dp[i] = min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
注意这里为什么是加cost[i],而不是cost[i-1],cost[i-2]之类的,因为题目中说了:每当你爬上一个阶梯你都要花费对应的体力值
3.dp数组如何初始化
根据dp数组的定义,dp数组初始化其实是比较难的,因为不可能初始化为第i台阶所花费的最少体力。
那么看一下递归公式,dp[i]由dp[i-1],dp[i-2]推出,既然初始化所有的dp[i]是不可能的,那么只初始化dp[0]和dp[1]就够了,其他的最终都是dp[0]dp[1]推出。
vector<int> dp(cost.size());
dp[0] = cost[0];
dp[1] = cost[1];
4.确定遍历顺序
因为是模拟台阶,而且dp[i]又dp[i-1]dp[i-2]推出,所以是从前到后遍历cost数组就可以了。
5.举例推导dp数组
下标i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
dp[i] 1 100 2 3 3 103 4 5 104 6
class Solution {
public:
int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
vector<int> dp(cost.size());
dp[0] = cost[0];
dp[1] = cost[1];
for (int i = 2; i < cost.size(); i++) {
dp[i] = min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
}
// 注意最后一步可以理解为不用花费,所以取倒数第一步,第二步的最少值
return min(dp[cost.size() - 1], dp[cost.size() - 2]);
}
};
- 时间复杂度:O(n)
- 空间复杂度:O(n)
2.优化
class Solution {
public:
int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
int dp0 = cost[0];
int dp1 = cost[1];
for (int i = 2; i < cost.size(); i++) {
int dpi = min(dp0, dp1) + cost[i];
dp0 = dp1; // 记录一下前两位
dp1 = dpi;
}
return min(dp0, dp1);
}
};
- 时间复杂度:O(n)
- 空间复杂度:O(1)