96.不同的二叉搜索树

本文介绍了如何使用动态规划解决LeetCode上的'不同数量节点的二叉搜索树'问题。通过分析递推关系,得出递推公式dp[i]=dp[j-1]*dp[i-j],并初始化dp[0]=1,从而计算出给定节点数n的所有可能二叉搜索树的种数。

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题目链接

https://leetcode.cn/problems/unique-binary-search-trees/


一、题目描述

  • 给你一个整数 n ,求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种?返回满足题意的二叉搜索树的种数。

  • 示例 1:

  • 在这里插入图片描述
    输入:n = 3
    输出:5

  • 示例 2:
    输入:n = 1
    输出:1

  • 提示:
    1 <= n <= 19

二、题解

1.思路

n=1		n=2

1		1			2
		  \		  /
		   2	 1

n为1的时候有一棵树,n为2有两棵树,这个是很直观的。
  • n为3的时候,一共有5种不同的结构。
    在这里插入图片描述

  • 分以下几种情况:

  • 当1为头结点的时候,其右子树有两个节点,看这两个节点的布局,是不是和 n 为2的时候两棵树的布局是一样的啊!

  • 当3为头结点的时候,其左子树有两个节点,看这两个节点的布局,是不是和n为2的时候两棵树的布局也是一样的啊!

  • 当2为头结点的时候,其左右子树都只有一个节点,布局是不是和n为1的时候只有一棵树的布局也是一样的啊!

发现到这里,其实我们就找到了重叠子问题了,其实也就是发现可以通过dp[1] 和 dp[2] 来推导出来dp[3]的某种方式。

  • dp[3],就是 元素1为头结点搜索树的数量 + 元素2为头结点搜索树的数量 + 元素3为头结点搜索树的数量

元素1为头结点搜索树的数量 = 右子树有2个元素的搜索树数量 * 左子树有0个元素的搜索树数量

元素2为头结点搜索树的数量 = 右子树有1个元素的搜索树数量 * 左子树有1个元素的搜索树数量

元素3为头结点搜索树的数量 = 右子树有0个元素的搜索树数量 * 左子树有2个元素的搜索树数量

有2个元素的搜索树数量就是dp[2]。

有1个元素的搜索树数量就是dp[1]。

有0个元素的搜索树数量就是dp[0]。

所以dp[3] = dp[2] * dp[0] + dp[1] * dp[1] + dp[0] * dp[2]

2.系统分析

  • 1.确定dp数组(dp table)以及下标的含义
    dp[i] : 1到i为节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i]。

也可以理解是i的不同元素节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i] ,都是一样的。

以下分析如果想不清楚,就来回想一下dp[i]的定义

  • 2.确定递推公式
    在上面的分析中,其实已经看出其递推关系, dp[i] += dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量]

j相当于是头结点的元素,从1遍历到i为止。

所以递推公式:dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]; ,j-1 为j为头结点左子树节点数量,i-j 为以j为头结点右子树节点数量

  • 3.dp数组如何初始化
    初始化,只需要初始化dp[0]就可以了,推导的基础,都是dp[0]。

从定义上来讲,空节点也是一棵二叉树,也是一棵二叉搜索树,这是可以说得通的。

从递归公式上来讲,dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量] 中以j为头结点左子树节点数量为0,也需要dp[以j为头结点左子树节点数量] = 1, 否则乘法的结果就都变成0了。

所以初始化dp[0] = 1

  • 4.确定遍历顺序
    首先一定是遍历节点数,从递归公式:dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]可以看出,节点数为i的状态是依靠 i之前节点数的状态。

那么遍历i里面每一个数作为头结点的状态,用j来遍历。

  • 5.举例推导dp数组
下标i:	0	1	2	3	4	5
dp[i]	1	1	2	5	14	42

代码如下:

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> dp(n + 1);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= i; j++) {
                dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
};
好的,我来解答你的问题。 对于这个问题,我们可以按照以下步骤来解决: 步骤1:构建二叉搜索树 我们可以使用给定的数据元素来构建一棵二叉搜索树,具体构建方法可以参考二叉搜索树的构建方法。 步骤2:遍历二叉搜索树 同样按照二叉搜索树的遍历方法,对构建好的二叉搜索树进行遍历,可选择前序遍历、中序遍历或后序遍历。 步骤3:转换为双链表 对于二叉搜索树转换为双链表,我们可以使用中序遍历,按照从小到大的顺序将树中的节点连接起来。具体实现方法如下: 1. 定义一个全局变量pre,用来记录上一个节点 2. 对于每个节点,先将其左子树转换为双链表,然后将该节点与pre连接起来,更新pre为当前节点,最后将右子树转换为双链表 3. 最后返回双链表的头节点(即最左侧的节点) 步骤4:打印双链表 按照双链表的结构,我们可以从头节点开始遍历,依次输出每个节点的值。 步骤5:按正反序输出双链表中的所有元素 对于双链表的正反序输出,我们可以定义两个指针,一个指向头节点,一个指向尾节点,然后分别从头尾开始遍历输出即可。 下面是示例代码,你可以参考一下: ```python # 定义二叉树节点 class TreeNode: def __init__(self, val=0, left=None, right=None): self.val = val self.left = left self.right = right # 构建二叉搜索树 def buildBST(nums): if not nums: return None mid = len(nums) // 2 root = TreeNode(nums[mid]) root.left = buildBST(nums[:mid]) root.right = buildBST(nums[mid+1:]) return root # 中序遍历将二叉搜索树转换为双链表 def convertBSTtoDLL(root): global pre pre = None def inorder(root): nonlocal pre if not root: return None inorder(root.left) if pre: pre.right = root root.left = pre pre = root inorder(root.right) inorder(root) while root.left: root = root.left return root # 打印二叉树 def printTree(root): if not root: return None print(root.val) printTree(root.left) printTree(root.right) # 打印双链表 def printDLL(head): while head: print(head.val) head = head.right # 按正序输出双链表 def printDLLForward(head): while head: print(head.val) head = head.right # 按反序输出双链表 def printDLLBackward(head): while head.right: head = head.right while head: print(head.val) head = head.left # 测试代码 nums = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7] root = buildBST(nums) print("打印二叉树:") printTree(root) head = convertBSTtoDLL(root) print("打印双链表:") printDLL(head) print("按正序输出双链表:") printDLLForward(head) print("按反序输出双链表:") printDLLBackward(head) ```
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