第三十九天：任意两点间的最短距离

单源最短路径，求解的是从该点出发的到某一点的最短距离，但是如果我们想知道到任意一点的最短距离可不可以呢？

假设d[i][j]代表的是从i到j的最短距离，如果我们能够找到之间的关系其实就可以通过动态规划的方法求解这个问题。

但是从i到j的选择方式过于复杂，我们需要限制一个点，这个点是必过还是不需要经过，这样我们就可以只考虑两种情况，从而进行递推。
加一个维度，表示是否经过点k，d[k][i][j]代表的是使用0~k个点的情况下的最短距离，我们假设从i到j的最短路径分为，经过点k和不经过点k两种情况来考虑，如果不经过点k，其实和经过k-1个点的最短距离一样d[k][i][j]=d[k-1][i][j]。如果我们需要经过点这个时候距离变成了d[k][i][j]=d[k-1][i][k]+d[k-1][k][j],结合起来就是：

d[k][i][j]=min(d[k-1][i][j],d[k-1][i][k]+d[k-1][k][j])

我们就找到了这个递推的关系式，但其实发现k-1可以化成一个数组:

int d[MAXN][MAXN];
int V;

void(warshall_floyd)
{
for (int k = 0; i < V; k++)
    {
        for (int i = 0; i < V; i++)
        {
            for (int j = 0; j < V; j++)
            {
                d[i][j] = min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]);
            }
        }   
    }  
}

我们用三重循环求出所有点的最短路径，所以时间复杂度是O（V^3）