数据结构篇十九：图的最短路径

图的最短路径

• 迪杰斯特拉算法
• 贝尔曼-福特算法
• 弗洛伊德算法
• SPFA算法(中国西南交通大学段凡丁发明)

最短路径问题分为两类，一大类是求一个顶点到其余各顶点的最短路径问题，另一大类是求各个顶点间最短路径问题。

迪杰斯特拉

迪杰斯特拉算法就是求解一个点到其余各点的最短路径算法，无向图带权图和有向带权图都适用。缺点是不适用权值为负数的图(后面会讲解原因)

算法步骤

1. 初始的点为起点，我们用s集合存储已经确定最短路径的点的集合，那么s={v},起点加入。其余各个点到v点的权值存储在dis数组里，不是直接连接的点距离都是无穷大
2. 从dis数组选出一个顶点u，这个点u到v点距离最小，把u加入s集合表示u已经确定了最短路径
3. 以点u为中介点，将除了s集合存储的点以外的其余点逐个判断，如果某个点x存在dis[u]+u点到x点距离<dis[x],就更新x的路径。
4. 重复2，3步骤，直到s集合包含了所有点。

我们还是直接上图看完整流程

首先我们先准备几个辅助数组,我们假设从点A为起点，找其它点到点A的最短路径

节点	A	B	C	D	E
下标	0	1	2	3	4
权重	0	4	∞	2	∞
标记	1	0	0	0	0
前驱	-1	0	-1	0	-1

我来说明下，这几个数组的作用
权重数组存储每个点到A点的最短距离

前驱数组存储的是每个点前驱点下标，例如B点前驱是0，表示B和A连接,前驱是A

标记数组存储的是当前点是否已经找到了最短路径。

接下来我们准备工作做好了，开始干活了!

1.按照算法步骤，找出没被标记点中权重最小的点，我们找到了D点，将D点标记为1，表示D点以确认最短路径，然后以D点为中介判断未标记点，首先来到了B点，权重数组中B对应的是4，根据算法步骤3，我们计算出权重数组D+BD距离2+1=3 < 4(4就是权重数组B的值)所以B当前有一条路径比之前近，所以修改了B点对应的权重为3，同时更新它的前驱是D的下标。意思就是经过D点到B，更加近。同理继续看下一个未被标记的点C，继续计算权重数组D+CD距离 2+1=3 <∞,拿C点也要修改权重为3，同时更新C点前驱是D，继续看下一个未被标记点E，发现权重数组D+DE=9<∞,所以也修改E点权重为9，同步更新它的前驱是D。如下表就是第一次更新后的结果

节点	A	B	C	D	E
下标	0	1	2	3	4
权重	0	3	3	2	9
标记	1	0	0	1	0
前驱	-1	3	3	0	3

2.找出当前表中未标记点权重最小的，来到了B点和C点，我们选择B(随便哪一个都行)将B标记为1，接着逐个判断未被标记点，首先是C，权重数组B+BC距离 3+4 >3所以不修改。又来到了E，权重数组B+BE 3+∞ >9 ,也不修改，如下表就是第二次更新的结果

节点	A	B	C	D	E
下标	0	1	2	3	4
权重	0	3	3	2	9
标记	1	1	0	1	0
前驱	-1	3	3	0	3

3.找出当前表中未被标价点权重最小的是C点，将C点标记为1，然后判断未被标记的，只剩E点，权重数组C+CE距离 3+3<9 所以修改E点权重是6，更行E点前驱是C的下标，如下表就是第三次更新的结果

节点	A	B	C	D	E
下标	0	1	2	3	4
权重	0	3	3	2	6
标记	1	1	1	1	0
前驱	-1	3	3	0	2

4.找出最小，只剩下E点，直接标记E点是1，结束。

节点	A	B	C	D	E
下标	0	1	2	3	4
权重	0	3	3	2	6
标记	1	1	1	1	1
前驱	-1	3	3	0	2

有了上面一张表，我们就可以求出每个点到A点的最短路径了，我举两个点例子。

首先是点B，根据前驱下标进行寻找，B前驱下标是3，对应点D，所以B点前驱是D，接着D点前驱下标是0，对应点A，接着A点前驱下标是-1，退出。所以整个逆序路径就是B-D-A

接着看E点，前驱下标是2就是C点，C点前驱是3是D点，D点前驱下标是0，是A点，A点前驱是-1，退出,整个逆序路径是E-C-D-A

//迪杰斯特拉算法
void Dijkstra(struct MGraph *g, char obj)
{
	int *temp, *dis, *pre,index,min,k;
	temp = (int*)malloc(sizeof(int) * g->numVretexes);
	dis = (in