808. 分汤

解题博客 | 汤的分配概率问题：动态规划 + 缩维优化的经典应用

🧩 题目描述

有两种类型的汤，分别是 汤A 和 汤B，它们的初始体积均为 n 毫升。在每一轮中，我们会以相等的概率（即 0.25）从以下四种操作中选择一种来分配汤：

1. 提供 100ml 的汤A 和 0ml 的汤B
2. 提供 75ml 的汤A 和 25ml 的汤B
3. 提供 50ml 的汤A 和 50ml 的汤B
4. 提供 25ml 的汤A 和 75ml 的汤B

在任何时刻，如果当前的汤量不足以执行所选择的操作，就尽可能多地提供剩余的汤量。分配过程一直持续，直到 至少一种类型的汤被分配完。

我们关心的不是具体的分配过程，而是这样一个概率：

汤A先被分配完的概率 + 汤A和汤B同时被分配完的概率的一半。

返回这个概率的数值，允许的误差为 1e-5。

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🧠 解题思路分析

该问题是一个典型的 概率型动态规划问题，因为操作具有不确定性，而我们要计算某种特定终止状态发生的概率。

核心思想：

我们将问题建模为一个状态转移图，其中每个状态由剩余的 (a, b) 表示。我们的目标是从状态 (n, n)