2080. 区间内查询数字的频率

利用预处理与二分查找实现区间频率查询 — RangeFreqQuery 详解

题目描述

给定一个整数数组 arr，设计一个数据结构 RangeFreqQuery，支持如下操作：

• 构造函数RangeFreqQuery(int[] arr)：用数组 arr 初始化对象。
• 查询函数query(int left, int right, int value)：返回子数组 arr[left...right] 中元素 value 的出现次数（频率）。

子数组指的是数组中一段连续的元素。arr[left...right] 表示包含下标 left 和 right 的区间。

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示例

RangeFreqQuery rangeFreqQuery = new RangeFreqQuery([12, 33, 4, 56, 22, 2, 34, 33, 22, 12, 34, 56]);
rangeFreqQuery.query(1, 2, 4);  # 返回 1 ，因为子数组 [33, 4] 中 4 出现一次
rangeFreqQuery.query(0, 11, 33); # 返回 2 ，因为整个数组中 33 出现两次

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解题分析

此问题的关键点在于，如何高效地支持大量区间查询。

朴素方法

• 对每次查询，遍历区间 arr[left...right] 统计 value 出现次数。
• 时间复杂度为 O(n)，如果查询次数很多（如10^5次），效率不够高。

高效方案思路

1. 预处理元素出现位置

• 对每个元素 val，提前记录它在数组中的所有出现索引（下标）。
• 用一个哈希表（字典）pos，键是元素值，值是该元素所有出现位置的排序列表。

例如，数组 [12, 33, 4, 56, 22, 2, 34, 33, 22, 12, 34, 56]：

• pos[33] = [1, 7]
• pos[12] = [0, 9]
• pos[22] = [4, 8]
• …

2. 利用二分查找统计区间出现次数

• 查询时，已知目标区间 [left, right] 和元素 value。
• 在 pos[value] 的索引列表中：
  • 找第一个位置 >= left 的索引 l （用 bisect_left）
  • 找第一个位置 > right 的索引 r （用 bisect_right）
• r - l 即为 value 在该区间出现的次数。

这种方法只需对每次查询做两次二分查找，时间复杂度约为 O(log n)。

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代码实现（Python）

import bisect
from typing import List

class RangeFreqQuery:

    def __init__(self, arr: List[int]):
        self.pos = {}
        for i, val in enumerate(arr):
            if val not in self.pos:
                self.pos[val] = []
            self.pos[val].append(i)

    def query(self, left: int, right: int, value: int) -> int:
        if value not in self.pos:
            return 0
        positions = self.pos[value]
        l = bisect.bisect_left(positions, left)
        r = bisect.bisect_right(positions, right)
        return r - l

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复杂度分析

操作	时间复杂度	备注
构造函数	O(n)	遍历数组，记录元素位置
查询函数	O(log n)	二分查找左右边界
空间复杂度	O(n)	存储元素所有出现位置

其中，n 是数组长度。

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方案比较

方法	时间复杂度（查询）	备注
朴素遍历	O(n)	查询次数大时效率极低
线段树/树状数组+哈希	O(log n)或更高	需要复杂的数据结构支持，编码复杂
预处理 + 二分查找	O(log n)	实现简单且高效，最优选择

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示例说明

假设 arr = [12, 33, 4, 56, 22, 2, 34, 33, 22, 12, 34, 56]，执行查询：

• query(1, 2, 4)
  • pos[4] = [2]
  • 在 [2] 中找第一个 >=1 的位置是0，找第一个 >2 的位置是1，频率 = 1 - 0 = 1。
• query(0, 11, 33)
  • pos[33] = [1, 7]
  • 找第一个 >=0 的位置是0，找第一个 >11 的位置是2，频率 = 2 - 0 = 2。

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总结

本题通过预处理每个元素出现的位置，结合二分查找实现了高效的区间频率查询。该方法简单易懂，且能够支持高达10^5次的查询，适合大规模数据场景。