51NOD 1821 最优集合【并查集】

最新推荐文章于 2022-01-19 16:30:23 发布

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本文介绍了一个关于寻找两个集合结合后的最大优美值的问题，通过算法详细解释了如何选择一个子集来最大化优美值的过程。算法涉及排序、二分查找及并查集等数据结构，最终实现高效求解。

1821 最优集合
基准时间限制：1 秒 空间限制：131072 KB 分值: 40 难度：4级算法题
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一个集合S的优美值定义为：最大的x，满足对于任意i∈[1,x]，都存在一个S的子集S'，使得S'中元素之和为i。
给定n个集合，对于每一次询问，指定一个集合S1和一个集合S2，以及一个数k，要求选择一个S2的子集S3(|S3|<=k)，使得S1∪S3的优美值最大。
（集合元素可以重复）
Input

第一行一个数n，（n<=1000）
接下来n行，每行描述一个集合：
第一个数m，表示集合大小，接下来m个数，表示集合中的元素（m<=1000，元素<=10^9）
第n+2行一个数T，表示询问次数（T<=10000）
接下来T行，每行3个数a，b，k，表示指定第a个集合为S1，第b个集合为S2，k的意义如题（a<=n,b<=n,k<=100,000）

Output

T行，每行一个数，表示对应询问所能达到的最大优美值

Input示例

2
6 1 2 3 8 15 32
6 1 1 1 1 1 1
1
1 2 3

Output示例

64

﹡    ＬＨ (题目提供者)

首先，将每个集合从小到大排序
$nowSum满足[ 1,nowSum ]区间内的数i 都能满足存在S的子集S'中元素之和为i$
如果 $S1[i]<=nowSum+1,那[1,nowSum+S1[i]]的数都能满足题意，nowSum+=S1[i]$
如果 $S1[i]>nowSum+1,那就在S2中找<=nowSum+1的最大的数，并加到nowSum中，直到S1[i]<=nowSum+1 或找不到了$
而找可以使用并查集复杂度为 $O(Tm)$
PS:显然需要输入优化

#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
const int N = 1e3+5; 

using namespace std;

char CH;
int X;
inline int read(){
    while(!isdigit(CH=getchar()));
    X=CH-'0';
    while(isdigit(CH=getchar())){
        X=X*10+CH-'0';
    }
    return X;
}

ll s[N][N];
int size[N];

int par[N];
void initPar(int n){
    for(int i=0;i<=n;++i){
        par[i]=i;
    }
    par[n+1]=n;
} 
int find(int x){
    return x==par[x]?x:(par[x]=find(par[x]));
}
void merge(int x,int y){
    x=find(x),y=find(y);
    par[y]=x;
}
ll slove(ll*a,int n,ll*b,int m,int k){
    initPar(m);
    ll nowSum=0;
    int ans=0;
    for(int i=0;i<=n;++i){
        nowSum+=a[i];
        if(n==i){
            break;
        }
        while(k>0&&nowSum+1<a[i+1]){
            int idx=lower_bound(b+1,b+m+1,nowSum+2)-b;
            idx=find(idx-1);
            if(idx<=0){
                break;
            }
            nowSum+=b[idx];
            merge(idx-1,idx);
            //par[idx]=idx-1;
            --k;
        }
        if(nowSum+1<a[i+1]){
            return nowSum;
        }
    }
    while(k>0){
            int idx=lower_bound(b+1,b+m+1,nowSum+2)-b;
            idx=find(idx-1);
            if(idx<=0){
                break;
            }
            nowSum+=b[idx];
            merge(idx-1,idx);
            //par[idx]=idx-1;
            --k;
        }
    return nowSum;
}

int main(){
    //freopen("C:\\Users\\Yang\\Desktop\\r.txt","r",stdin);
    int n=read();
    for(int i=1;i<=n;++i){
        int m=read();
        size[i]=m;
        for(int j=1;j<=m;++j){
            s[i][j]=read();
        }
        sort(s[i]+1,s[i]+m+1);
    }
    int T=read();
    while(T--){
        int a=read(),b=read(),k=read();
        printf("%lld\n",slove(s[a],size[a],s[b],size[b],k));
    }
    return 0;
}