51NOD 1670 打怪兽

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#数学 #期望

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本文介绍了一款名为“打怪兽”的游戏算法问题。玩家从0能量开始挑战随机排列的怪兽，每击败一个怪兽能量加1，直至所有怪兽被击败或玩家失败。文章提供了计算玩家结束时能量值期望的算法实现。

1670 打怪兽
基准时间限制：1 秒 空间限制：131072 KB 分值: 40 难度：4级算法题
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lyk在玩一个叫做“打怪兽”的游戏。
游戏的规则是这样的。
lyk一开始会有一个初始的能量值。每次遇到一个怪兽，若lyk的能量值>=怪兽的能量值，那么怪兽将会被打败，lyk的能量值增加1，否则lyk死亡，游戏结束。
若怪兽全部打完，游戏也将会结束。
共有n个怪兽，由于lyk比较弱，它一开始只有0点能量值。
n个怪兽排列随机，也就是说共有n!种可能，lyk想知道结束时它能量值的期望。
由于小数点比较麻烦，所以你只需要输出期望*n!关于1000000007取模后的值就可以了！

例如有两个怪兽，能量值分别为{0,1}，那么答案为2，因为游戏结束时有两种可能，lyk的能量值分别为0和2。期望为1,1*2!=2，所以答案为2。
Input

第一行一个数n(1<=n<=100000)。
接下来一行n个数ai表示怪兽的能量(0<=ai<n)。

Output

一行表示答案

Input示例

2
0 1

Output示例

2

alpq654321 (题目提供者)
C++ 11的运行时限为：1000 ms ，空间限制为：131072 KB 示例及语言说明请按这里

设
打的第i个怪物能量为 $E_i$ , 为了方便, 结尾加上一个 $E_n = inf$
nlet[i] = numLessEqualThan[i] = 能量 <= i的怪物数量
numPremu[i] = 0,1,2,..i的排列数量
则, 若最终lyk能量 = k, 有

{E i < = i, E k > k | i < k}

$\{E_i<=i, E_k>k| i<k\}$

此时, 满足最终lyk能量 = k的方案数 numProject 为:
能量<=0的怪物数*(能量<=1的怪物数-1)*…*(能量<=k-1的怪物数-k+1)*(能量>k的怪物数)*剩下的怪物的全排列数

n u m P r o j e c t k = n l e t 0 * (n l e t 1 - 1) * (n l e t 2 - 2) * . . . * (n l e t k - 1 - (k - 1)) * (n - n l e t k) * n u m P r e m u n - k - 1

$numProject_k=nlet_0*(nlet_1-1)*(nlet_2-2)*...*(nlet_{k-1}-(k-1)) * ( n - nlet_k) * numPremu_{n - k - 1}$

n u m P r o j e c t k = (n - n l e t k) * n u m P r e m u n - k - 1 \prod i = 0 k - 1 (n l e t i - i)

$numProject_k = ( n - nlet_k) * numPremu_{n - k - 1}\prod_{i=0}^{k-1}(nlet_i-i)$

a n s = \sum n u m P r o j e c t i * i

$ans = \sum numProject_i * i$

#include<stdio.h>
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define pii pair<int,int>
#define pll pair<ll,ll>
#define MEM(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#define lowbit(x) ((x)&-(x))

using namespace std;

const int inf = 1e9+7;
const int N = 1e6 + 5;

int a[N];

ll pre[N];//pre[i] = prod_(j<=i) [nLET_j - j]

ll numPremu[N];//numPremu[i] = i的排列数量

int numLessEqualThan[N];//nLET[i] = 小于等于i的数的数量

void initNumPremu(){
    numPremu[0] = numPremu[1] = 1;
    for(int i = 2; i < N; ++i){
        numPremu[i] = (numPremu[i - 1] * i) % inf;
    }
}

void initPre(int n){
    MEM(numLessEqualThan, 0);
    for(int i = 0; i < n; ++i){
        ++numLessEqualThan[a[i]];
    }
    pre[0] = numLessEqualThan[0];
    for(int  i = 1; i <= n; ++i){
        numLessEqualThan[i] += numLessEqualThan[i - 1];
        pre[i] = (pre[i - 1] * (numLessEqualThan[i] - i)) % inf;
    }
}

int slove(int n){
    initPre(n);
    int ans = 0;
    for(int  i = 1; i <= n; ++i){//最终能量为i
        int numBigger = n == i ? 1 : (n - numLessEqualThan[i]);
        int numPremuation = n == i ? 1 : numPremu[n - i - 1];
        int numProject = (((pre[i - 1] * numBigger) % inf) * numPremuation) % inf;
        ans = (ans + (ll)numProject * i) % inf;
    }
    return ans;
}

int main() {
    //freopen("/home/lu/code/r.txt","r",stdin);
    //freopen("/home/lu/code/w.txt","w",stdout);
    initNumPremu();
    int n;
    while(~scanf("%d", &n)){
        for(int i = 0; i < n; ++i){
            scanf("%d", a + i);
        }
        printf("%d\n", slove(n));
    }
    return 0;
}