找规律

先上题 ： C-小红的二叉树_牛客周赛 Round 79

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题目看起来 很吓人 ，其实就是纸老虎 罢了 ！！！

这种题目 一看就是找规律 求通项公式 或者递推 。

 

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 思路 ：

 我会选择先找 递推公式 ：（这是数学的叫法  ， 我们叫他为状态转移方程） 为什么我不先去找通项公式呢？ 显然找递推公式 比通项公式容易得多 ！ 因为 你只需要关注与当前步和下一步 的转移 关系 ! ! 而不需要关注全局 ，况且有了递推公式之后可能可以最终化成通项公式，当然 这就考验你的数学功底 了 （你的数学工具够不够强大 ）

 显然  (从第3层开始   )   每一层比上一层 多了 pow( 2 ,  n-1 ) +pow( 2 ,n-2 )

推导 ：

为了求解通项 f(n)，我们从给定的递推关系式开始：

f(n)−f(n−1)=2n−1+2n−2

首先，我们简化等式右边的表达式：

2n−1+2n−2=2n−2(2+1)=3⋅2n−2

所以，递推关系式变为：

f(n)−f(n−1)=3⋅2n−2

为了找到 f(n)，我们需要对这个递推关系式进行求和。我们从 n=3 开始，一直加到 n：

f(3)−f(2)=3⋅23−2=3⋅21=6 f(4)−f(3)=3⋅24−2=3⋅22=12 f(5)−f(4)=3⋅25−2=3⋅23=24 ⋮ f(n)−f(n−1)=3⋅2n−2

将这些等式相加，我们得到：

f(n)−f(2)=3(21+22+23+⋯+2n−2)

等式右边是一个等比数列的和，首项为 21=2，公比为 2，项数为 n−2。

我们得到：

所以，最终的通项公式为：

3 *pow( 2 ,n-1 )−5​

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做法  ：

1 . 递推 ( 使用快速幂 )  O（ n *log( n ) ）

2. 通项公式 （快速幂 ） O ( 1 )  / O ( log n ) 

C++ACcode  1:

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long 
using namespace std;
 
int h;
const int p=1e9+7;
 
signed main()
{   
    ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0);
    cin>>h;
    vector<int> f(h+100);
    f[1]=0;
    f[2]=1;
     
    auto qpower = [&] (int a,int b){
        int res=1;
        while(b){
            if(b&1){
                res=(res*a)%p;
            }
            b>>=1;
            a=(a*a)%p;
        }
        return res;
    };
     
     
    if(h==1){
        cout<<"0"<<'\n';
        return 0;
    }
    if(h==2){
        cout<<"1"<<'\n';
        return 0;
    }
    for(int i=3;i<=h;++i){
        f[i]=((f[i-1])%p+(qpower(2,i-1))%p+(qpower(2,i-2))%p)%p;
    }
    cout<<f[h]<<'\n';
   

C++ACcode 2 :

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long 
using namespace std;

int n;
const int p = 1e9+7;

signed main()
{   
	ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0);
	cin>>n;
	
	auto qpower = [&](int a,int b){
		int res=1;
		while(b){
			if(b&1){
				res=(res*a)%p;
			}
			b>>=1;
			a=(a*a)%p;
		}
		return res;
	};
	
	if(n==1){
		cout<<"0"<<'\n';
		return 0;
	}
	else if(n==2){
		cout<<"1"<<'\n';
		return 0;
	}
	
	cout<<(3*qpower(2,n-1)%p-5)%p<<'\n';
    return 0;
}