Codeforces Round 995 (Div. 3) D. Counting Pairs

D. Counting Pairs

题目：

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中文翻译 ：

                                                         D. 计数对

每个测试的时间限制为2秒 每个测试的内存限制为256兆字节 给定一个由n个整数组成的序列a，其中序列的第i个元素等于ai。同时给定两个整数x和y（x≤y）。

如果整数对（i，j）满足以下条件，则认为该对是有趣的：

1≤i<j≤n； 如果同时从序列a中移除位置i和j的元素，剩余元素的和至少为x且至多为y。 你的任务是确定给定序列a中有趣整数对的数量。

输入 第一行包含一个整数t（1≤t≤10^4）——测试用例的数量。

每个测试用例包含两行：

第一行包含三个整数n，x，y（3≤n≤2⋅10^5，1≤x≤y≤2⋅10^14）； 第二行包含n个整数a1，a2，…，an（1≤ai≤10^9）。 输入的额外约束：所有测试用例中n的总和不超过2⋅10^5。

输出 对于每个测试用例，输出一个整数——给定序列a中有趣整数对的数量。

思路 ：

我们可以用 brute force 即暴力的方法，枚举二元组 （i，j）i < j 。然而时间复杂度是O（n*n），

会出现 tle 的情况 。那么怎么将他优化 ？

   设sum 表示 arry 的和 ， 那么要解决的问题就是  x <=  sum-ai-aj  <= y  ，我们可以一维的枚举

   ai , 在知道ai 的情况下，我们要寻找相应符合的 aj ，可以将x <=  sum-ai-aj  <= y  改写为 ： 

sum-y-ai  <=  aj  <=  sum-ai-x  ,那么我们的任务是查找符合上试的 aj ,关于查找，一种很常见的优化时间的方法是 binery search ! （二分） 时间复杂度是 O（log n ）,但是我们用二分之前需要先构造单调性，我们可以很容易观察到： 符合条件的 i，j  ，与其相对应相对位置无关，所以我们可以用 sort 进行排序 ( 复杂度 ：O（n*log n ））， 然后遍历 数组 枚举 ai，寻找aj的lower bound 和upper bound ,但是要注意 寻找的时候  要保证 i < j , 所以找出上下界之后还要一些处理。   

C++  ACcode :

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long 
using namespace std;

int t,n,x,y;

signed main()
{   
	ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0);
	cin>>t;
	
	auto solve = [&](){
		cin>>n>>x>>y;          // x <= y
		vector<int> a(n+100);
		int s=0;
		for(int i=1;i<=n;++i){
			cin>>a[i];
			s+=a[i];
		}
		
		sort(a.begin()+1,a.begin()+1+n);
		
		auto aj_r = [&](int xx){   
			/* wa point 1 and debug : 
			       variation x is using for public , 
			       but perviously I created              
			       a variatione and the name is same with x ,
			       leading to ambiguous*/
			int l=1,r=n,res=0;
			while(l<=r){
				int mid=(l+r)>>1;
				if(a[mid]<=s-x-a[xx]){
					res=mid;
					l=mid+1;
				}
				else r=mid-1;
			}
			return res;
		};
		
		auto aj_l = [&](int xx){
			int l=1,r=n,res=0;
			while(l<=r){
				int mid=(l+r)>>1;
				if(a[mid]>=s-y-a[xx]){
					res=mid;
					r=mid-1;
				}
				else l=mid+1;
			}
			return res;
		};
		
		int ans=0;  /* we should avoid to repreatly chose ai ,and aj,
		            since i<j ,and ai<=aj ,so we should pay attention to
		            determain the lowerbound --> l; */
		for(int i=1;i<=n;++i){
			int l=aj_l(i);
			int r=aj_r(i);
		/*	cout<<"------"<<'\n';
		    cout<<x<<"<="<<s-a[i]-a[l]<<"<="<<y<<'\n';
			cout<<x<<"<="<<s-a[i]-a[r]<<"<="<<y<<'\n';
	    	cout<<"-----"<<'\n';	
	    	if(l==i) l++,cout<<"ca0"<<'\n'; */
			l= i>=l? i+1:l;  // detail should be pay more attention to ！
		    if(l==0||r==0||r<=i||l>r) continue ;
		/*	wa point 2 ans debug :
			why could not without this if(empression) ?	? ? ? ? */
			int sl=s-a[i]-a[l];
			int sr=s-a[i]-a[r];
			if(!(x<=sl&&sl<=y)&&!(x<=sr&&sr<=y)) continue ;
		/*      why shound add this (if mantain)  to keep the ans ? ? ? ? 	
	    		cout<<"------"<<'\n';
			    cout<<x<<"<="<<s-a[i]-a[l]<<"<="<<y<<'\n';
				cout<<x<<"<="<<s-a[i]-a[r]<<"<="<<y<<'\n';
			    cout<<i<<" "<<l<<" "<<r<<'\n';
				cout<<"-----"<<'\n';
			    cout<<"+"<<r-l+1<<'\n';  */
			   ans+=r-l+1;
		}
		
		cout<<ans<<'\n';
	};
	
	while(t--) solve();
	return 0;
}