模拟退火算法（代码）

在实际日常中，人们会经常遇到如下问题：在某个给定的定义域内，求函数对应的最优值。此处以最小值问题举例（最大值问题可以等价转化成最小值问题），形式化为：

如果是离散有限取值，那么可以通过穷取法获得问题的最优解；如果连续，但是凸的，那可以通过梯度下降等方法获得最优解；如果连续且非凸，虽说根据已有的近似求解法能够找到问题解，可解是否是最优的还有待考量，很多时候若初始值选择的不好，非常容易陷入局部最优值。

随着日常业务场景的复杂化，第三种问题经常遇见。如何有效地避免局部最优的困扰？模拟退火算法应运而生。其实模拟退火也算是启发式算法的一种，具体学习的是冶金学中金属加热-冷却的过程。由S.Kirkpatrick, C.D.Gelatt和M.P.Vecchi在1983年所发明的，V.Čern在1985年也独立发明此演算法。

不过模拟退火算法到底是如何模拟金属退火的原理？主要是将热力学的理论套用到统计学上，将搜寻空间内每一点想象成空气内的分子；分子的能量，就是它本身的动能；而搜寻空间内的每一点，也像空气分子一样带有“能量”，以表示该点对命题的合适程度。演算法先以搜寻空间内一个任意点作起始：每一步先选择一个“邻居”，然后再计算从现有位置到达“邻居”的概率。若概率大于给定的阈值，则跳转到“邻居”；若概率较小，则停留在原位置不动。

一、模拟退火算法基本思想

模拟退火是启发示算法的一种，也是一种贪心算法，但是它的搜索过程引入了随机因素。在迭代更新可行解时，以一定的概率来接受一个比当前解要差的解，因此有可能会跳出这个局部的最优解，达到全局的最优解。以下图为例，假定初始解为左边蓝色点A，模拟退火算法会快速搜索到局部最优解B，但在搜索到局部最优解后，不是就此结束，而是会以一定的概率接受到左边的移动。也许经过几次这样的不是局部最优的移动后会到达全局最优点D，于是就跳出了局部最小值。

根据热力学的原理，在温度为时，出现能量差为dE的降温的概率为，表示为：

其中是波尔兹曼常数，值为，exp表示自然指数，且。因此，所以函数的取值范围是(0, 1)。满足概率密度函数的定义。其实这条公式更直观意思就是：温度越高，出现一次能量差为的降温的概率就越大；温度越低，则出现降温的概率就越小。

在实际问题中，这里的“一定的概率”的计算参考了金属冶炼的退火过程。假定当前可行解为，迭代更新后的解为，那么对应的“能量差”定义为：

其对应的“一定概率”为：

最小值优化：

最大值优化：

注：在实际问题中，可以设定，即将参数与合并。

二、模拟退火算法描述

1. 初始化：初始温度（充分大），温度下限（充分小），初始解状态（是算法迭代的起点），每个值的迭代次数；
2. 对=1, 2, ..., 做第3至第6步；
3. 产生新解: ；为之间的随机数。
4. 利计算增量，其中为优化目标；
5. 若(若寻找最大值，)则接受作为新的当前解，否则以概率接受作为新的当前解；
6. 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。(终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。)；
7. T逐渐减少，且，然后转第2步。

在每个温度下迭代次，通过不断改变x来寻找当前温度下的最优值，然后降低温度继续寻找，直到温度达到最低，即选择概率接近于0。

 

注意：生成新的后，要判断是否在定义域内，对于超出的值要抛弃。

三、模拟退火算法的优缺点

模拟退火算法的应用很广泛，可以高效地求解NP完全问题，如货郎担问题(Travelling Salesman Problem，简记为TSP)、最大截问题(Max Cut Problem)、0-1背包问题(Zero One Knapsack Problem)、图着色问题(Graph Colouring Problem)等等，但其参数难以控制，不能保证一次就收敛到最优值，一般需要多次尝试才能获得（大部分情况下还是会陷入局部最优值）。观察模拟退火算法的过程，发现其主要存在如下三个参数问题：

(1) 温度T的初始值设置问题 

温度T的初始值设置是影响模拟退火算法全局搜索性能的重要因素之一、初始温度高，则搜索到全局最优解的可能性大，但因此要花费大量的计算时间；反之，则可节约计算时间，但全局搜索性能可能受到影响。

(2) 退火速度问题，即每个T值的迭代次数

模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关。一般来说，同一温度下的“充分”搜索是相当必要的，但这也需要计算时间。循环次数增加必定带来计算开销的增大。

(3) 温度管理问题 

温度管理问题也是模拟退火算法难以处理的问题之一。实际应用中，由于必须考虑计算复杂度的切实可行性等问题，常采用如下所示的降温方式：

注：为了保证较大的搜索空间，α一般取接近于1的值，如0.95、0.9，代码中设置为0.98。

算法原理转自：https://blog.youkuaiyun.com/huahua19891221/article/details/81737053。

四、案例

TSP问题即旅行商问题，经典的TSP可以描述为：一个商品推销员要去若干个城市推销商品，该推销员从一个城市出发，需要经过所有城市后，回到出发地。应如何选择行进路线，以使总的行程最短。从图论的角度来看，该问题实质是在一个带权完全无向图中，找一个权值最小的哈密尔顿回路。

分析：不同路线构求得的解构成了解空间，算法以一定的概率从解空间中迭代出极值，不同每次放入路线更新方式采用随机调整路线。

五、代码

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <algorithm>
#include <stdio.h>
#include <time.h>
#include <math.h>
#include <fstream>
#include <string>
#include <vector>
using namespace std;

#define T     3000    //初始温度
#define EPS   1e-8    //终止温度
#define DELTA 0.98    //温度衰减率	

#define LIMIT 1000   //概率选择上限
#define OLOOP 20    //外循环次数
#define ILOOP 100   //内循环次数
#define cN 6       //城市数量
using namespace std;

//定义路线结构体
struct Path
{
	int citys[cN];
	double len;
};

//定义城市点坐标
struct Point
{
	double x, y;
};
typedef struct Point pt;
Path bestPath;        //记录最优路径
       
double w[cN][cN];   //两两城市之间路径长度
int nCase;        //测试次数

double dist(Point A, Point B)
{
	return sqrt((A.x - B.x) * (A.x - B.x) + (A.y - B.y) * (A.y - B.y));
}

void GetDist(std::vector<pt> p, int n)
{
	for (int i = 0; i < n; i++)
		for (int j = i + 1; j < n; j++)
			w[i][j] = w[j][i] = dist(p[i], p[j]);//A到 B的距离等于B到A的距离。
}



void Init(int n)
{
	nCase = 0;
	bestPath.len = 0;
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		bestPath.citys[i] = i;//对条线设置编号
		if (i != n - 1)
		{
			printf("%d--->", i);
			bestPath.len += w[i][i + 1];
		}
		else
			printf("%d\n", i);
	}
	printf("\n  path length is : %.4f\n", bestPath.len);
	
}

void Print(Path t, int n)
{
	printf("current path : ");
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		if (i != n - 1)
			printf("%d-->", t.citys[i]);
		else
			printf("%d\n", t.citys[i]);
	}
	printf("\nThe path length is : %.3lf\n", t.len);
	printf("-----------------------------------\n\n");
}

/*-----------------------------
生成新路线
------------------------------*/
Path GetcNext(Path p, int n)
{
	Path ans = p;
	int x = (int)(n * (rand() / (RAND_MAX + 1.0)));
	int y = (int)(n * (rand() / (RAND_MAX + 1.0)));
	while (x == y)
	{
		x = (int)(n * (rand() / (RAND_MAX + 1.0)));
		y = (int)(n * (rand() / (RAND_MAX + 1.0)));
	}
	swap(ans.citys[x], ans.citys[y]);
	ans.len = 0;
 	for (int i = 0; i < n - 1; i++)
		ans.len += w[ans.citys[i]][ans.citys[i + 1]];
	cout << "nCase = " << nCase << endl;
	Print(ans, n);
	nCase++;
	return ans;
}

void SA(int n)
{
	double t = T;
	srand((unsigned)(time(NULL)));
	Path curPath = bestPath;
	Path newPath = bestPath;
	int P_L = 0;
	int P_F = 0;
	while (1)       //外循环，主要更新参数t，模拟退火过程
	{
		for (int i = 0; i < ILOOP; i++)    //内循环，寻找在一定温度下的最优值
		{
			newPath = GetcNext(curPath, n);
			double dE = newPath.len - curPath.len;
			if (dE < 0)   //当前值小于前一个值（求最小值问题），此时更新接受新值。
			{
				curPath = newPath;
				P_L = 0;
				P_F = 0;
			}
			else//以一定概率接受新值，可能会跳出局部最优解
			{
				double rd = rand() / (RAND_MAX + 1.0);
				
				if (exp(dE / t) > rd && exp(dE / t) < 1)//概率大于随机生成的0-1之间的值时，接受新值。
					curPath = newPath;
				P_L++;
			}
			if (P_L > LIMIT)//终止条件
			{
				P_F++;
				break;
			}
		}
		if (curPath.len < bestPath.len)
			bestPath = curPath;
		if (P_F > OLOOP || t < EPS)
			break;
		t *= DELTA;//以一定速率更新温度
	}
}

int main(int argc, const char * argv[]) {

	
	ifstream  f_data("C:/Users/91324/Desktop/Tsp.data");
	std::vector<pt> city_pt;
	city_pt.clear();
	string data = "";

	if (f_data.fail())//文件打开失败:返回0  
	{
		std::cout << "Open file faild!" << std::endl;
		return 0;
	}

	getline(f_data, data);
	int n = atoi(data.c_str());

	while (getline(f_data, data))
	{
		int pos=data.find(" ");
		pt c_pt;
		string x_str = data.substr(0, pos);
		c_pt.x = atof(x_str.c_str());
		string y_str = data.substr(pos+1, pos);
		c_pt.y = atof(y_str.c_str());
		city_pt.push_back(c_pt);

	}


	GetDist(city_pt, n);
	Init(n);
	SA(n);
	Print(bestPath, n);
	printf("Total test times is : %d\n", nCase);
	system("pause");
	return 0;
}