Problem G Ray in the tube(思维)

https://codeforces.com/gym/101911/problem/L

题意

在二维坐标系中给出两个直线 y = a, y = b。在这两条直线上分别有n个和m个传感器，可以任意选两个传感器A,B，发射一束A->B的激光，这个激光遇到直线就会反射，问最多会经过多少个传感器。

1<=n,m<=3e5

题解

先解决一个问题，已知一条射线，如何快速求出经过的传感器个数？

对于上下直线分开讨论。

1. 假设如图所示，从下往上的射线在下直线的跨度是$c=(x_b-x_a)\ast 2$，对于每个传感器令其坐标为$x_u$，只需 满足$x_u\equiv x_{a}modc$即在这个射线上。
2. 对于上直线，同理，只需满足 $x_u+c/2\equiv x_{a}modc$

这两条直线间隔的距离是无所谓的，这个只决定射线的斜率而已。
一个很直观的做法就是枚举上下所有的两个点，然后取最大值，但这个复杂度不允许$O(n^2{m}^2)$。

画画图可以发现，一些c比较大的射线能用比它小的射线代替，例如c = 6可以被 c = 2代替，但是c = 4 不能被 c = 2 代替。

多尝试一下发现只要 $c=2^l$的射线都不可被替代，$c=2^l\ast 奇数$都可以被$c=2^l$的所代替。

所以我们只需在每个传感器处枚举$log(1e9)$根射线即可。时间复杂度为$O((n+m)log(1e9)log(n))$

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define FOR0(a,b) for(int i = a; i < b; ++i)
#define FORE(a,b) for(int i = a; i <= b; ++i)
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;

const int maxn = 1e5+5;

map<ll,ll> mp1,mp2;
ll n,m;
ll a[maxn], b[maxn];;

int main() {
    int y;
    scanf("%lld%lld", &n,&y);
    for(int i = 0; i < n; ++i)
        scanf("%lld", &a[i]);
    scanf("%lld%lld", &m, &y);
    for(int i = 0; i < m; ++i)
        scanf("%lld", &b[i]);

    ll c = 2;
    ll ans = 2;
    for(; c <= 1e9; c <<= 1) {
        mp1.clear();mp2.clear();
        for(int i = 0; i < n; ++i)
            mp1[a[i]%c]++;
        for(int i = 0; i < m; ++i)
            mp2[b[i]%c]++;

        for(int i = 0; i < n; ++i) 
            ans = max(ans, mp1[a[i]%c]+mp2[(a[i]+c/2)%c]);
        for(int i = 0; i < m; ++i)
            ans = max(ans, mp2[b[i]%c]+mp1[(b[i]+c/2)%c]);
    }
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}