5.16 每日一题

数♂论题

我们知道，$2^n$除$7$的余数是$6$个一周期的。类似的思路，$2^{2^{2^{2^{2^{{\cdots }^2}}}}}$（有100层，从上往下算，如$2^{2^{2^2}}=2^{2^4}=2^{16}=65536$）,这个大数除$7$余多少？（相信暴力，一层一层上去，一会就出来了）

题♂解

$2^n$除每个数的周期：

除数	周期长度
7	3
6	2
2	1

设$amodb$为$a$除$b$的余数，
那么原式

$=2^{2^{2^{2^{2^{{\cdots }^2}}}}}mod7$

$=2^{(2^{2^{2^{2^{{\cdots }^2}}}}mod3)}mod7$

$=2^{(2^{2^{2^{2^{{\cdots }^2}}}}mod3)}mod7$

$=2^{(2^{(2^{2^{2^{{\cdots }^2}}}mod2)}mod3)}mod7$

显然，$2^{n}mod2=0(n>0)$。原式化为

$=2^{2^{0}mod3}mod7$

$=2^{1}mod7$

$=2$

即原式除$7$余$2$