【OI学习笔记】有向图的强联通分量

板块：图论
难度：较易
前置知识：图的基本概念与性质、有向无环图（DAG）

定义

• 连通分量：对于一个有向图，对于分量中的任意两点 $u,v$，必然可以从 $u$ 走到 $v$，从 $v$ 走到 $u$。
• 强连通分量：极大连通分量（简称SCC）

用途

将任意一个有向图转换为有向无环图。如对于下图，我们通过缩点操作将 2、3、6 合并为一点，所谓缩点，就是将一个强联通分量中的所有点都合并为一个点的操作，一个强联通分量内的各点一定可以互相到达。操作的最终结果就是把每个点都放在一个强联通分量中。

演变为下图：

这样做的好处，一方面，在求最短最长路时可以线性地做；另一方面，很多题目在一个任意有向图中难以完成，但放在一个有向无环图中则会变得简单。因此，强连通分量的相关算法在信息学竞赛中发挥着中重要作用。

算法基本原理与过程

基本原理

首先先介绍一些特殊的边，在实际算法实现中不会涉及，但有助于我们理解算法的原理与过程：

• 树枝边：对于 $(x,y)$，若 $x$ 是 $y$ 的父节点，则 $x$ 与 $y$ 相连的边称为树枝边。
• 前向边：对于 $(x,y)$，若 $x$ 是 $y$ 的祖先节点，则 $x$ 与 $y$ 相连的边称为前向边。树枝边是特殊的前向边。
• 后向边：对于 $(x,y)$，若 $y$ 是 $x$ 的祖先节点，则 $y$ 与 $x$ 相连的边称为后向边。
• 横叉边：对于 $(x,y)$，若 $x$ 在 $y$ 的左侧的其他分支，那么 $x$ 与 $y$ 相连的边称为横叉边。根据 DFS 序，横叉边只能向左。
  

我们要把每个节点都放在一个强联通分量中，那么我们首先应该判断它是否已经在一个强联通分量中。总的来说，如果一个节点可以回到某个祖先节点，那么它已经存在在一个SCC中了。具体地，分为以下两种情况：

• 可以沿着路径回到某个祖先节点（即存在一条