【图论】有向图的强连通分量

有向图的强连通分量

连通分量： 对于分量中任意两点$u,v$，必然可以从$u$走到$v$，且从$v$走到$u$。
强连通分量($SCC$)： 极大连通分量。一个连通分量加上任何一些点都不是连通分量了，该连通分量就是强连通分量。
强连通分量的作用： 将任意有向图通过 缩点(将所有连通分量缩成一个点) 转换成有向无环图($DAG$)。

常见应用：对于上图，将有向图缩点之后，可以直接按照拓扑序递推来求最短路/最长路

如何求强连通分量($Tarjan$算法)

$DFS$
一些概念：
边可以分为四大类：
1.树枝边$(x,y)$。$x$是$y$的父节点

2.前向边($x$,$y$)。$x$是$y$的祖先节点

3.后向边($x$,$y$)

4.横叉边(往之前搜过的其他分支搜，连向其他分支的边)

如果一个点在强连通分量($SCC$)中
情况1：存在一条后向边，指向祖先结点
情况2：先走到横叉边，横叉边再走到祖先节点

Tarjan算法求强连通分量($SCC$)
引入时间戳的概念，在搜索的时候给每一个点一个编号(按照深度优先搜索的顺序)

对每个点定义两个时间戳：
$dfn[u]$表示遍历到$u$的时间戳
$low[u]$表示从$u$开始走，所能遍历到的最小的时间戳
$u$是其所在的强连通分量的最高点，等价于$dfn[u]$==$low[u]$
tarjan算法模板

void tarjan(int u){
   
   
    //dfn是当前点的时间戳，low是该点能够到达的最小的时间戳
    dfn[u]=low[u]=++timestamp;
    stk.push(u),in_stk[u]=true;//将当前点加入栈当中
    for(int i=head[u];~i;i=ne[i]){
   
   //遍历u所有能到的点
        int v=e[i];
        if(!dfn[v]){
   
   //如果该点还没有被遍历过
            tarjan(v);
            low[u]=min(low[u],low[v]);//更新最小的时间戳
        }
        else if(in_stk[v])low[u]=min(low[u],dfn[v]);//如果v点还在栈中，就用这个点来更新low值
    }
    if(dfn[u]==low[u]){
   
   //u是该强连通分量的最高点
        ++scc_cnt;
        int y;
        do{
   
   
            y=stk.top();stk.pop();//将该强连通分量的所有点出栈
            in_stk[y]=false;//不在栈中了
            id[y]=scc_cnt;//标记该点的强连通分量的下标
            Size[scc_cnt]++;//该连通分量的大小加1
        }while(y!=u);
    }
}

时间复杂度$O(n+m)$

//缩点
for i=1;i<=n;i++
 for i的所有邻点j
   if i和j不在同一scc中:
    加一条新边id[i]→id[j]

形成一个有向无环图$(DAG)$
缩点之后，强连通分量编号点按编号递减的顺序就是拓扑序。
假设对于一个点$u$，当我们执行if(dfn[u]==low[u])这句话时，说明$u$点所能到的点都搜完了，也就是这个点的所有后继都搜完了，我们才将这个点所在序列当中(也就是标记为$scc\_cnt$)，逆序来看的话，所有这个点的后继都在这个点的前面，那必然就是拓扑序了。

受欢迎的牛

原题链接
每一头牛的愿望就是变成一头最受欢迎的牛。
现在有$N$头牛，编号从$1$到$N$，给你$M$对整数$(A,B)$，表示牛$A$认为牛$B$受欢迎。
这种关系是具有传递性的，如果$A$认为$B$受欢迎，$B$认为$C$受欢迎，那么牛$A$也认为牛$C$受欢迎。
你的任务是求出有多少头牛被除自己之外的所有牛认为是受欢迎的。

输入格式
第一行两个数$N,M$；
接下来$M$行，每行两个数$A,B$，意思是$A$认为$B$是受欢迎的（给出的信息有可能重复，即有可能出现多个 $A,B$）。

输出格式
输出被除自己之外的所有牛认为是受欢迎的牛的数量。

数据范围
$1\le N\le 10^4$,
$1\le M\le 5\times 10^4$

输入样例：

3 3
1 2
2 1
2 3

输出样例：

1

样例解释
只有第三头牛被除自己之外的所有牛认为是受欢迎的。

分析：
题目意思就是需要找到的牛是能够被其他所有牛所能到达的，直接暴力的话时间复杂度太大。
如果用拓扑图来说，这个题会变得简单，如果当前图是一个拓扑图，如果至少存在两个终点(没有出边，出度为$0$)，那么这两个终点不可达，那么答案为$0$；如果只有一个点出度为$0$，那么所有点都能走到这个点。所以对于拓扑图，我们只需要判断有几个出度为$0$的点即可。那么本题，我们将一个图的强连通分量缩点成拓扑图，再进行判断。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=10005,M=50005;
int n,m;
int head[N],e[M],ne[M],tot;
int dfn[N],low[N],timestamp;
stack<int>stk;
bool in_stk[N];
int id[N],scc_cnt,Size[N];
int dout[N];
void add(int a,int b){
   
   
    e[tot]=b,ne[tot]=head[a],head[a]=tot++;
}
void tarjan(int u){
   
   
    //dfn是当前点的时间戳，low是该点能够到达的最小的时间戳
    dfn[u]=low[u]=++timestamp;
    stk.push(u),in_stk[u]=true;
    for(int i=head[u];~i;i=ne[i]){
   
   
        int v=e[i];
        if(!dfn[v]){
   
   //如果该点还没有被遍历过
            tarjan(v);
            low[u]=min(low[u],low[v]);//更新最小的时间戳
        }
        else if(in_stk[v])low[u]=min(low[u],dfn[v]);
    }
    if(dfn[u]==low[u]){
   
   //u是该连通分量的最上面的点
        ++scc_cnt;
        int y;
        do{
   
   
            y=stk.top();stk.pop();//将该连通分量的所有点出栈
            in_stk[y]=false;//不在栈中了
            id[y]=scc_cnt;//标记该点的连通分量的下标
            Size[scc_cnt]++;//该连通分量的大小加1
        }while(y!=u);
    }
}
int main()
{
   
   
    scanf("%d %d",&n,&m);
    memset(head,