14、Agda编程中的Sigma类型与二叉搜索树

Agda编程中的Sigma类型与二叉搜索树

1. Sigma类型与非零自然数加法

1.1 Sigma类型简介

Sigma类型（Σ - 类型）用于表示依赖对的类型。在依赖对中，第二个组件的类型依赖于第一个组件的值。例如，对于类型为 B a 的 b ，我们使用 B a 而不是简单的 B 来表达这种依赖关系。

1.2 非零自然数加法示例

在 nat - nonzero.agda 中，定义了非零自然数的后继和加法函数。以下是加法函数的代码：

_++_ : N+ Ñ N+ Ñ N+
(zero , ()) ++ n2
(1 , p1) ++ y = suc+ y
(suc (suc n1) , p1) ++ y = suc+ ((suc n1 , refl) ++ y)

代码通过模式匹配处理第一个要相加的非零自然数：
- 若第一个组件为 zero ，由于该数已知非零，此情况不会发生，所以使用荒谬模式。
- 若第一个组件为 1 ，则使用 suc+ 函数取第二个参数 y 的后继。
- 若第一个组件为 suc (suc n1) ，可以使用 suc n1 作为第一个参数递归调用 _++_