13、深入理解Braun树与Sigma类型

深入理解Braun树与Sigma类型

1. Braun树的基础与和类型

在处理Braun树时，我们使用和类型来表示逻辑命题。和类型的定义如下：

data _Z_ {ℓ ℓ’} (A : Set ℓ) (B : Set ℓ’)
: Set (ℓ ⊔ ℓ’) where
  inj1 : (x : A) → A Z B
  inj2 : (y : B) → A Z B
___ : @ {ℓ ℓ’} (A : Set ℓ) (B : Set ℓ’) → Set (ℓ ⊔ ℓ’)
___ = _Z_

这里， _Z_ 类型由两个类型 A 和 B 参数化，它们可能处于不同的层级，通过 ⊔ 操作来处理层级问题。 inj1 和 inj2 是构造器，用于从 A 或 B 类型的值创建 A Z B 类型的值。当在代码中使用和类型时，运行代码时用 _Z_ ，表示逻辑命题时用 ___ ，二者语义相同，仅为方便理解。

对于Braun树，有一个关键性质：要么左子树和右子树大小相同，要么左子树大小比右子树大1。 bt-node 构造器在构建节点时需要这个性质的证明，确保每个节点都满足该性质，且返回的Braun树大小为 suc (n + m)