21、子空间设计：从理论到实例的深入剖析

子空间设计：从理论到实例的深入剖析

1. 从子空间设计构建组合设计

通过将子空间设计的块与其点集对应起来，我们能够构建组合设计。设 (D = (V, B)) 为一个 (t-(v, k, \lambda)_q) 子空间设计，可定义以下两种组合设计：
- 投影版本 ：(D_p = (\binom{V}{1}_q, {\binom{B}{1}_q | B \in B}))
- 仿射版本 ：对于任意固定的超平面 (H \in \binom{V}{v - 1}_q)，(D_a = (\binom{V}{1}_q \setminus \binom{H}{1}_q, {\binom{B}{1}_q \setminus \binom{H}{1}_q | B \in B, B \nleq H}))

当 (t = 2) 时，(D_p) 是一个组合 (2-(\binom{v}{1}_q, \binom{k}{1}_q, \lambda)) 设计，(D_a) 是一个组合 (2-(q^{v - 1}, q^{k - 1}, \lambda)) 设计。在 (q = 2) 且 (t = 3) 的情况下，(D_a) 甚至是一个组合 (3-(q^{v - 1}, q^{k - 1}, \lambda)) 设计。

2. 设计的自同构群

子空间设计的定义完全可以用子空间格 (L(V)) 来表示，因此设计性质在 (Aut(L(V))) 的作用下是不变的。由此，(Aut(L(V))) 提供了设计同构的概念：在 (V) 上的两个设计 (D = (V, B)) 和 (D’ = (V, B’)) 被称为同构的