34、高效盒子折叠算法解析

高效盒子折叠算法解析

1. 案例研究引入

我们对一组特定的九连方进行了算法的案例研究。此前，有人先计算出能折叠成尺寸为 1 × 1 × 7 和 1 × 3 × 3 两种盒子的 1080 个多连方，接着在这些多连方上解决了尺寸为 √5×√5×√5 特殊盒子的折叠问题，最终找到了能折叠成三种不同盒子的九个多连方。我们将算法应用于这组九个多连方时，意外发现了另一个特殊的多连方，它能以四种不同的折叠方式折成三种不同的盒子。

2. 预备知识

• 盒子折叠问题定义
  • 输入 ：多边形 P = (p0, p1, …, pn−1, p0)
  • 输出 ：能从 P 折叠而成的盒子集合 S = {Q0, Q1, …, Qk}，S 可能为空集。
    假设每个点 pi 的 x 坐标 x(pi) 和 y 坐标 y(pi) 都是有理数，设 qmin 是它们的最小公分母。通过将其按 qmin 进行缩放，盒子折叠问题可转化为处理多边形 P ′ = (p′0, p′1, …, p′n−1, p′0)，其中 P ′ 中每个点的坐标 x(p′i) 和 y(p′i) 是 [0, pmaxqmin] 内的整数，pmax 是最大分子。因此，不失一般性，我们假设每个坐标 x(pi) 和 y(pi) 是非负整数。
• 多边形直径与几何参数
  多边形 P 的直径 D 定义为 maxi,j |pi − pj| = maxi,j √((x(pi) − x(pj