33、线段集合匹配与高效盒子折叠算法

线段集合匹配与高效盒子折叠算法

线段集合匹配算法

在处理线段集合匹配问题时，我们会从静态情况入手，逐步深入到考虑平移和旋转等变换下的豪斯多夫距离问题。

静态情况

当线段集合 (S) 不进行任何变换时，我们有如下算法来计算其与集合 (S’) 的近似豪斯多夫距离：
1. 构建近似近邻数据结构 ：将 (S’) 中的线段视为 (R^{2d}) 中的点，使用 Arya 等人提出的近似近邻数据结构（ANN）进行记录。该结构的构建时间为 (O(n \log n))，并且能在 (O((1/\epsilon^{2d}) \log n)) 时间内报告 (S’) 中一个 ((1 + \epsilon)) - 近似最近线段。
2. 计算近似最近线段 ：对于 (S) 中的每个线段 (s)，计算其在 (S’) 中的 ((1 + \epsilon)) - 近似最近线段 (N_{\epsilon}(s))。
3. 计算近似豪斯多夫距离 ：返回 (\delta_{\epsilon} = \max_{s \in S} d(s, N_{\epsilon}(s)) / \ell(s))，根据近似近邻的定义，(\delta_{\epsilon}) 是 (d_H(S, S’)) 的 ((1 + \epsilon)) - 近似值。

定理 1 表明，如果 (S) 和 (S’) 分别是 (R^d) 中的 (m) 和 (n) 条线段的集合，我们可以在 (O((m/\epsilon^{2d} + n) \log n)) 时间内找到一个容差 (\delta_{\epsi