31、受限树背包问题的高效动态规划算法

受限树背包问题的高效动态规划算法

在处理树结构上的背包问题时，我们常常会遇到各种约束条件，如独立集约束、优先级约束、连通性约束等。为了解决这些复杂的问题，我们将介绍一种新的动态规划技术——重轻递归动态规划（HLRecDP），并探讨它在不同约束条件下的应用。

1. 研究贡献

我们引入了重轻递归动态规划（HLRecDP）技术。该技术的灵感来源于Chekuri和Pal针对s - t路径约束单调子模最大化问题的递归贪心算法及其对逻辑约束单调子模最大化问题的推广。它将用于优先级约束问题的左右动态规划（left - right DP）和深度优先动态规划（depth - first DP）推广到了自动机约束问题。

通过使用HLRecDP技术，我们得到以下定理：
- 定理1 ：设$T = (V(T), E(T))$是一个具有$n$个顶点的树，$A$是一个非确定性自顶向下的树自动机，其转移多样性为$\delta(n)$。设$p \in R^{V} {\geq0}$，$w \in Z^{V} {\geq0}$，$C \in Z_{\geq0}$。那么，存在一个解决问题（1）的算法，其运行时间为$O(n\log(1 + \delta(n))C)$。特别地，如果$\delta(n) = O(1)$，该算法的运行时间为$O(poly(n)C)$。
- 定理2 ：假设$A$是一个前缀封闭的自顶向下树自动机，且转移多样性有界，使用算法1可以在$f(n)$时间内解决带$A$的自动机约束树背包问题。设$k = O(1)$。那么，存在一个解决相应$k$ - 子树版本问题的算法，其复杂度如下：