15、广义随机最短路径度量下优化问题的概率分析与树的最优分区研究

广义随机最短路径度量下优化问题的概率分析与树的最优分区研究

广义随机最短路径度量下优化问题的概率分析

在广义随机最短路径度量（Generalized RSPM）中，对于平凡启发式算法返回的 k - 中位数的期望值，我们可以立即得出其边界。

引理 20 ：固定大小为 k 的 $U \subseteq V$，则有 $E[TR] = E[cost(U)]$，并且
$\frac{1}{\beta}(\ln(\frac{n - 1}{k - 1}) - 1) \leq E[TR] \leq \frac{1}{\alpha}(\ln(\frac{n - 1}{k - 1}) + 1)$。

在给出平凡启发式算法的期望近似比结果之前，我们先给出最优 k - 中位数 $M_E$ 和平凡解 $T_R$ 分布的一些尾部边界。

引理编号	内容
引理 21	固定大小为 k 的 $U \subseteq V$，则 $\sum_{i = k}^{n - 1} Exp(\beta_i)$ 的概率密度函数 $f$ 为 $f(x) = \beta_k \cdot \binom{n - 1}{k} \cdot exp(-\beta_kx) \cdot (1 - exp(-\beta x))^{n - k - 1}$
引理 22	设 $c > 0$ 足够大，