13、前缀弗雷歇相似度：计算方法与算法解析

前缀弗雷歇相似度：计算方法与算法解析

1. 曲线构造与复杂度分析

首先，我们构造曲线 (B_n)，它由 (n/2) 个线段组成，这些线段的斜率在 1 和 -1 之间交替，且与曲线 (A_n) 有相同的起点。构造 (B_n) 的步骤如下：
1. 以长度为 (1/n) 且指向西南方向的对角线段开始。
2. 连接一个长度为 (1/(2n)) 且指向东南方向的线段。
3. 依次添加长度为 (1/n) 的线段，方向依次为西南、西南、西北、西南。
4. 重复添加最后四个线段，直到 (B_n) 由 (n/2) 个线段组成。

接下来分析 (A_n) 和 (B_n) 的前缀弗雷歇相似度的复杂度。对于 (i \in {1, \ldots, n/4})，定义 (\delta_i) 使得 (B_n) 的第 (2i) 个线段位于以 (B_n) 起点为中心、半径为 (\delta_i) 的 (L_1) 球边界上，同样定义 (A_n) 的 (\delta_i)。对于 (i, j \in {1, \ldots, n/4})，前缀弗雷歇相似度在 (\delta_i + \delta_j) 处实现，因为整个曲线 (B_n) 的长度小于线段 (b_{2j}b_{2j + 1}) 的长度。这意味着前缀弗雷歇相似度的轮廓在 (\delta_i + \delta_j) 处有不连续性，总共会有 (n^2/4) 个不连续点。

2. 计算前缀弗雷歇相似度轮廓的算法

定理表明，两条具有 (n) 个线段的多边形曲线的前缀弗雷歇相似度轮廓的复杂度为 (O(n^3\alpha(n^3)))，并且可以在 (O(n^3 \log(n))) 时间内计算。下面详细介绍证明过程。 <