HDU-6216 推公式+二分

本文介绍了一种基于立方数差的质数判断算法。利用数学公式a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)推导出当a³-b³为质数时的条件,并给出了具体的实现代码。通过预处理和二分搜索技术,该算法能够高效地判断给定数值是否符合特定形式的立方数差。

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题目

A Cubic number and A Cubic Number

题解

因为 a3b3=(ab)(a2+ab+b2) ,如果 a3b3 为质数,那么 ab=1,b=a+1 , 带入 a2+ab+b2 3b2+3b+1 ,然后预处理+二分就可以了

代码

#include <algorithm>
#include <bitset>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <climits>
#include <iostream>
#include <list>
#include <map>
#include <queue>
#include <set>
#include <stack>
#include <string>
#include <vector>
using namespace std;
const int MAX = 1000005;
long long pre[MAX];
int main(){
    pre[0] = 0;
    for(long long i=1;i<MAX;++i){
        pre[i] = 3 * i * i + 3 * i + 1;
    }
    int n;
    cin >> n;
    for(int i=0;i<n;++i){
        long long p;
        cin >> p;
        if(!binary_search(pre+1,pre+MAX,p))
            cout << "NO" << endl;
        else
            cout << "YES" << endl;
    }

    return 0;
}
按照刚刚同样的格式整理总结一下以下内容:幻灯片1 矩阵前缀和 幻灯片2 复习: 前缀和算法  对于一个长为n的序列a = {a[1],a[2],a[3],....,a[n]}  我们可以求出a的前缀和数组s,其中s[i] = a[1]+a[2]+...+a[i]  这样当我们想要求a序列中一段区间的和时,就可以用s[r]-s[l-1]求出a[l]+a[l+1]+...+a[r]的区间和 幻灯片3 问题探究  在一个矩阵上,如果我们想要求出一个子矩阵的和,是否有类似于前缀和的方法?  提示,考虑一下如何定义矩阵上的“前缀” ? 幻灯片4 求面积 思考: 下图的大矩形S,被划分出了四个子矩形A,B,C,D  请用A,B,C,D的面积,进行四则运算,得到大矩形的面积  请用S,A,B,C的面积,通过四则运算,得到矩形D的面积 幻灯片5 启发 通过上面的例子可以想到:  当我们想要算出矩阵中某一块子矩阵的和,例如想要得到矩形D的和,可以先提前求出S,A,B,C的和(就像在一维前缀和算法中求sum[]数组一样)  再通过S-A-B+C得到D的矩阵和  要提前求出S,A,B,C这类矩形的和,就要先归纳出他们的特点。  思考: S,A,B,C这些矩形有什么共性呢? 幻灯片6 前缀矩阵 很容易发现,S、A、B、C都是以矩阵中的某个元素为右下角,以矩阵第一行第一列为左上角的  我们把这些矩阵称为前缀矩阵,在二维前缀和算法中,就是要提前求出sum[i][j]表示以第i行第j列为右下角的前缀矩阵和  下图这些子矩阵就是前缀矩阵: 幻灯片7 练一练 sum[i][j]表示以第i行第j列为右下角的前缀矩阵和  对于右侧矩阵:    求出: sum[2][3] sum[4][2] sum[3][5] 幻灯片8 预处理 想要快速求出所有的前缀矩阵和sum[i][j],就要类似一维前缀和那样找到相应的递公式,像动态规划一样快速的求出所有的sum值  看看下面的矩阵,S = C+B-A+D ,替换成sum值和矩阵a中的元素就是: sum[i][j] = sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1] + a[i][j]      这就是矩阵前缀和的递公式,请认真理解并记忆 幻灯片9 预处理—代码实现  读入n,m和n*m的矩阵,求出sum[][]数组,并将其输出  输入样例: 输出样例:     sum[i][j] = sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1] + a[i][j]   幻灯片10 预处理-代码实现 幻灯片11 求出子矩阵的和 看下面一个例子,如何利用sum数组求出矩形D,也就是以(4,4)为左上角、(5,6)为右下角的的子矩阵和           幻灯片12 求出子矩阵的和 看下面一个例子,如何利用sum数组求出矩形D,也就是以(4,4)为左上角、(5,6)为右下角的的子矩阵和        D = S - B - C + A = sum[5][6] - sum[5][3] - sum[3][6] + sum[3][3]   幻灯片13 求出子矩阵的和 更普遍的,如果想要求出以(a,b)为左上角,(c,d)为右下角的子矩阵和  就可以用sum[c][d]-sum[a-1][d]-sum[c][b-1]+sum[a-1][b-1]  例如右图,矩阵D中: 左上角为(4,4),右下角为(5,6) 矩阵D的和为sum[5][6]-sum[3][4]-sum[4][3]+sum[3][3]   幻灯片14 例题: 1717 最大子矩阵 幻灯片15 暴力算法1 简单粗暴的处理方法是:  用双重循环枚举子矩阵左上角(a,b)的坐标  利用双重循环计算这个子矩阵的和  这样做的时间复杂度为O(n^4)  代码实现略,课后布置成作业,每位同学完成并提交后,在群里截图打卡“暴力算法1已完成”   幻灯片16 暴力算法2 简单粗暴的处理方法是:  用双重循环枚举子矩阵左上角(a,b)的坐标  利用一维前缀和,O(n)枚举子矩阵的每一行求和  这样做的时间复杂度为O(n^3)  代码实现略,课后布置成作业,每位同学完成并提交后,在群里截图打卡“暴力算法2已完成”   幻灯片17 标准解法 利用二维前缀和,我们在处理出sum[][]数组后,只要:  枚举子矩阵的左上角(a,b)的坐标,求出右下角(c = a+x-1, d = b+y-1)  利用二位前缀和直接求出子矩阵的和  sum[c][d]-sum[c][b-1]-sum[a-1][d]+sum[a-1][b-1]  幻灯片18 参考核心代码 幻灯片19 例题: 1722 星空 幻灯片20 例题: 1722 星空 幻灯片21 题解  简单分析,会发现每过c+1秒所有星星的亮度又变回来了  所以t时刻是等价于t%(c+1)时刻的  这样的话实际上只有0~c这c+1个不同的时刻  可以用sum[t][][]记录t时刻的星星亮度对应的矩阵前缀和,这样的预处理的复杂度是O(c*n*m)的,对于每次询问,只要计算出等价的0~c中的时刻,并计算矩阵和即可。 幻灯片22 例题 1724 Pond 幻灯片23 题解 二分中位数mid,将大于mid的数设为1,否则设为0  这样一个子矩阵的和就是这个子矩阵中大于mid的数的个数  枚举k*k的正方形子矩阵的右下角,并利用sum数组计算对应的矩阵和  如果找到一个子矩阵的和是≤k*k/2的,说明存在一个正方形子矩阵的中位数≤mid,就朝着小的方向二分,否则朝着大的方向二分 幻灯片24 核心代码 幻灯片25 作业  例题/中等难度题目 1717 1722 1724  较难题目 1720 1721 
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03-08
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