基础数论算法（八）矩阵乘法与线性齐次递推公式的快速求值

最新推荐文章于 2025-02-20 22:29:29 发布

LittleRewriter

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分类专栏：数论文章标签：算法矩阵乘法线性代数数论递推公式

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/LiRewriter/article/details/77187443

本文介绍了如何利用矩阵乘法优化线性齐次递推公式的求值，通过特征根方程和矩阵快速幂的方法，提高了求解递推序列效率，特别适用于斐波那契数列等复杂情况。

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矩阵乘法可是zhx钦定说考的可能性挺大的东西！

###矩阵乘法
一个n*m的矩阵乘一个m*p的矩阵会得到一个n*p的矩阵。
因此有一道区间dp模板叫矩阵链乘法，不过这个不是重点。
矩阵乘法如果要简单的说，就是行乘每一列放在对应的行上。这么说可能不太清楚，不过我觉得代码比一堆 $∑\sum$ 清晰的多。

void multi(int m,int n,int p){
    for(int i=0;i<m;++i)
        for(int j=0;j<p;++j)
            for(int k=0;k<n;++k)
                c[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];            
}

###特征根方程
为什么要提特征根方程？因为~~觉得很有趣~~如果解出来是整数说不定可以少些五行矩阵乘法。
对于f(n)=af(n-1)+bf(n-2)这种递推公式，我们可以用特征根方程求出通项。顺便一提，这种方法写大题的时候不能用，老老实实待定系数吧。
首先，把原通项写成f(n)-af(n-1)-bf(n-2)=0的形式。
接下来，解一个方程： $x^2-ax-b=0$ ，假设解为 $x_1,x_2$
那么我们称这两个解是这个数列的特征根。
这里要注意，如果无实数解，那么这个数列一般是具有周期性的。
如果 $x1≠x2x_1\neq x_2$ ，那么 $a_n=c_1x_1^n+c_2x_2^n$ ，其中 $c_1,c_2$ 带进去两个数就知道了。
例如：f(n)=2f(n-1)+3