二阶锥形式的配电网最优潮流问题（SOCP-OPF）推导过程

1.配电网潮流常规模型

一个简单的支路潮流示意图如下图所示，${\dot{V}}_i$、${\dot{V}}_i$表示节点$i$和节点$j$的复电压，$z_{ij}$、${\dot{I}}_{ij}$、${\tilde{S}}_{ij}$分别表示支路$i-j$上的复阻抗、复电流、复功率，${\tilde{S}}_j$表示节点$j$注入的复功率。

则潮流方程如下所示：
$${\dot{V}}_i-{\dot{V}}_j=z_{ij}{\dot{I}}_{ij}\text{\hspace{1em}(1)}$$
$${\tilde{S}}_{ij}={\dot{V}}_i{\dot{I}}_{ij}^{\ast }\text{\hspace{1em}(2)}$$
$${\tilde{S}}_j=\sum _{k\in \delta (j)}{\tilde{S}}_{jk}-\sum _{i\in \pi (j)}({\tilde{S}}_{ij}-z_{ij}|{\dot{I}}_{ij}{|}^2)\text{\hspace{1em}(3)}$$
其中，$k\in \delta (j)$表示功率从节点$j$流出的所有节点，$i\in \pi (j)$表示功率流向节点$j$的所有节点。

2.去相角松弛

式(1)、(2)、(3)中变量都为复数，首先将其松弛为实数。上式(3)可直接改写为如下形式：
$$p_j=\sum _{k\in \delta (j)}{p}_{jk}-\sum _{i\in \pi (j)}(p_{ij}-r_{ij}{I}_{ij}^2)\text{\hspace{1em}(4)}$$
q j = ∑ k ∈ δ ( j ) q j k − ∑ i ∈ π ( j ) ( q i j − x i j I i j 2 ) (5) q_j=\sum_{k\in\delta(j)}q_{jk}-\sum_{i\in\pi(j)}(q_{ij}-x_{ij}I_{ij}^2) \tag{5} qj​=k∈δ(j)∑​qjk​−i∈π(j)∑​(qij​−xij​I