NCPC 2016 Exponial （欧拉降幂）

最新推荐文章于 2022-03-24 09:08:51 发布

破晓③

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分类专栏：数论 ACM 文章标签： ACM 数论

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本文介绍了一种使用欧拉降幂法解决超大数值运算的方法，针对给定的Exponial函数exponial(n)，通过递归方式结合欧拉函数降低计算复杂度，并给出了具体的AC代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接：http://acm.csu.edu.cn/csuoj/problemset/problem?pid=2021

题目大意：给出n和m，定义一个函数exponial(n)=n^{(n − 1)^{(n − 2)^{⋯^2¹}}}，要你求出这个函数膜m的结果；

题目思路：由于这个幂次实在太大了，所以得采用欧拉降幂公式来处理

欧拉降幂公式：

其中代表C的欧拉函数；（C的欧拉函数等于不超过C且和C互素的整数个数）。

有了这个公式我们就可以通过递归来处理上面的幂次，将整体的大小下降好几个档次了，具体实现看代码。

AC代码如下：

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define fuck(x) cout<<'['<<x<<']'<<endl
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int,int>pii;
const int MX = 23333;

LL n,m;

LL euler(LL n){
    LL m = (LL)sqrt(n+0.5);
    LL ans = n;
    for(int i = 2;i <= m;i++){
        if(n%i == 0){
            ans = ans/i*(i-1);
            while(n%i == 0) n /= i;
        }
    }
    if(n > 1) ans = ans/n*(n - 1);
    return ans;
}

LL quick_pow(LL a,LL b,LL mod){
    LL res = 1;
    while(b){
        if(b&1) res = (res*a)%mod;
        a = (a * a) % mod;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

LL solve(LL n,LL m){
    if(m == 1) return 0;
    if(n == 1) return 1;
    else if(n == 2) return 2%m;
    else if(n == 3) return 9%m;
    else if(n == 4) return quick_pow(4,9,m);
    else{
        LL phi = euler(m);
        LL k = solve(n-1,phi);
        LL ans = quick_pow(n,phi+k,m);
        return ans;
    }
}

int main(){
    while(~scanf("%lld%lld",&n,&m)){
        printf("%lld\n",solve(n,m));
    }
    return 0;
}