证明精确的4SAT是NP_完全问题

题目描述：

在精确的4SAT（EXACT 4SAT）问题中，输入为一组子句，每个子句都是恰好4个文字的析取，且每个变量最多在每个子句中出现一次。目标是求它的满足赋值——如果该赋值存在。证明精确的4SAT是NP_完全问题。

显然，4SAT问题是NP问题，所有可能的赋值总数的指数级的。现从3SAT归约到4SAT来证明4SAT为NP_完全问题：

给定3SAT的实例，对I中的任意子句（a1∨a2∨a3）转换为(a1∨a2∨a3∨y)(a1∨a2∨a3∨~y)，我们记这样生成的4SAT实例为I'，由I到I'的转换显然是多项式时间的。

接下来证明I和I'是等价的：

①若（a1∨a2∨a3）满足，则不管y是否为真，(a1∨a2∨a3∨y)和(a1∨a2∨a3∨~y)都为真，即(a1∨a2∨a3∨y)(a1∨a2∨a3∨~y)满足。

②反之，若(a1∨a2∨a3∨y)(a1∨a2∨a3∨~y)满足，即(a1∨a2∨a3∨y)和(a1∨a2∨a3∨~y)都为真，若y为真那么（a1∨a2∨a3）必须为真才可以保证(a1∨a2∨a3∨~y)为真，同理若y为假那么（a1∨a2∨a3）必须为真才可以保证(a1∨a2∨a3∨~y)为真，因此（a1∨a2∨a3）满足。

可见I和I'是等价的，即3SAT的任意实例都可以被转换成4SAT的一个等价实例。由于3SAT为NP_完全问题，所以4SAT也是NP_完全问题。