861. 二分图的最大匹配（匈牙利算法， 二分图的最大匹配）

861. 二分图的最大匹配 - AcWing题库

给定一个二分图，其中左半部包含 n1 个点（编号 1∼n1），右半部包含 n2 个点（编号 1∼n2），二分图共包含 m 条边。

数据保证任意一条边的两个端点都不可能在同一部分中。

请你求出二分图的最大匹配数。

二分图的匹配：给定一个二分图 G，在 G 的一个子图 M 中，M 的边集 {E} 中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称 M 是一个匹配。

二分图的最大匹配：所有匹配中包含边数最多的一组匹配被称为二分图的最大匹配，其边数即为最大匹配数。

输入格式

第一行包含三个整数 n1、 n2 和 m。

接下来 m 行，每行包含两个整数 u 和 v，表示左半部点集中的点 u 和右半部点集中的点 v 之间存在一条边。

输出格式

输出一个整数，表示二分图的最大匹配数。

数据范围

1≤n1,n2≤500
1≤u≤n1
1≤v≤n2
1≤m≤105

输入样例：

2 2 4
1 1
1 2
2 1
2 2

输出样例：

2

解析 ：

匈牙利算法是一种解决二分图最大匹配问题的算法，主要用于解决任务分配等问题。以下是匈牙利算法的步骤：

1. **初始化：** 对于给定的二分图，将每个顶点的标记初始化为未匹配。

2. **从左侧开始：** 从二分图的左侧开始，对每个未匹配的顶点尝试找到增广路径。

3. **寻找增广路径：** 从当前未匹配的左侧顶点开始，尝试沿着未匹配的边找到增广路径。增广路径是一条交替经过未匹配边和已匹配边的路径。

4. **增广路径存在：** 如果找到增广路径，则根据增广路径更新匹配关系。更新的方式是将路径上的已匹配边变为未匹配，未匹配边变为已匹配。

5. **增广路径不存在：** 如果无法找到增广路径，说明当前左侧顶点已经无法找到匹配，此时需要尝试调整之前的匹配，即修改之前已匹配的边。

6. **调整匹配：** 通过调整匹配，使得右侧的顶点重新可以匹配。具体做法是选择已匹配边中的一条，然后尝试寻找增广路径。

7. **重复步骤2-6：** 重复进行步骤2到步骤6，直到无法找到更多的增广路径为止。

8. **结束：** 当无法再找到增广路径时，算法结束。此时已经找到了二分图的最大匹配。

核心代码： 

主函数中的算法

for (int i = 1; i <= n1; i++) {
		memset(st, 0, sizeof st);
		if (find(i)) {
			ret++;
		}
	}

函数： 

int find(int u) {
	for (int i = h[u]; i != -1;i=ne[i]) {
		int j = e[i];
		if (!st[j]) {
			st[j] = 1;
         //如果点 j 还没有被匹配，或者find(match[j])能为与j匹配的点找到新的下家
			if (match[j] == 0 || find(match[j])) {
				match[j] = u;
				return 1;
			}
		}
	}
	return 0;
}

 

匈牙利算法的核心思想是通过不断寻找增广路径，来扩展当前的匹配，直到无法找到更多的增广路径。算法的时间复杂度为O(V*E)，其中V是顶点数，E是边数。

#include<iostream>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<algorithm>
#include<utility>
#include<stack>
#include<queue>
#include<vector>
#include<set>
#include<math.h>
#include<map>
#include<sstream>
#include<deque>
#include<unordered_map>
using namespace std;

const int N = 5e2+3, M = 2e5 + 5, INF = 1e9;
int n1, n2, m;
int h[N], e[M], ne[M], idx;
int st[N], match[N];

void add(int a, int b) {
	e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

int find(int u) {
	for (int i = h[u]; i != -1;i=ne[i]) {
		int j = e[i];
		if (!st[j]) {
			st[j] = 1;
			if (match[j] == 0 || find(match[j])) {
				match[j] = u;
				return 1;
			}
		}
	}
	return 0;
}

int main() {
	scanf("%d%d%d", &n1, &n2, &m);
	memset(h, -1, sizeof h);
	for (int i = 1,a,b; i <= m; i++) {
		scanf("%d%d", &a, &b);
		add(a, b);
	}
	int ret=0;
	for (int i = 1; i <= n1; i++) {
		memset(st, 0, sizeof st);
		if (find(i)) {
			ret++;
		}
	}

	cout << ret << endl;
	return 0;
}