2021“MINIEYE杯”中国大学生算法设计超级联赛（1） 1001 Mod, Or and Everything_(n mod 1)or(n mod 2) or ... or (n mod (n 1)) or -优快云博客

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本文解析了一个关于计算整数n除以1到n-1的余数之和问题，利用等差数列性质简化求解，展示了如何通过预处理2的幂次并确定最大指数来得出答案。代码实现中使用了循环和位运算技巧。

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题目大意

给出 $n$ ，求 $(n\mod 1)\ or(n\mod2)\ or(n\mod 3)\ or\dots or\ (n\mod (n-1)) \ or(n\mod n)$ 。

Solution

对于一个 $n$ ，从 $\lfloor\frac{n}{2}\rfloor+1$ 开始，余数就形成一个公差为 1 的等差数列。因此最后的答案肯定是 $2^x-1$ 。

考虑找出 $x$ 。而 $x$ 取决于 $\lfloor\frac{n+1}{2}\rfloor-1$ ，因为等差数列的首项是它。首项在二进制下的位数就是 $x$ 。

因此有不等式： $\lfloor\frac{n+1}{2}\rfloor-1\ge2^{x-1}$ ，而目的就是求出最大的 $x$ 。

预处理出 $2^i$ ，然后找到最大的 $x$ 满足上式，期间一直加上 $2^x$ 即可。

Code

#include<cstdio>
using namespace std;
#define ll long long
#define G getchar()
ll T, n, l, len, ans, pow[50];
inline ll read()
{
    ll an = 0, ch = G;
    for (; ch < 48 || ch > 57 ; ch = G);
    for (; ch > 47 && ch < 58 ; ch = G)
        an = (an << 3) + (an << 1) + ch - 48; 
    return an;
}
int main()
{
    T = read();
    pow[0] = 1;
    for (ll i = 1 ; i <= 40 ; i++)
        pow[i] = pow[i - 1] << 1;
    while (T--)
    {
        n = read();
        l = n / 2 + 1;
        len = n - l;
        ans = 0;
        for (ll i = 0 ; pow[i] <= len ; i++)
            ans += pow[i];
        printf("%lld\n", ans);
    }
    return 0;
}