记录：扩展欧几里得算法-优快云博客

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前置知识

裴蜀定理/贝祖定理：若 $a, b$ 是整数，且 $\gcd(a,b)=d$ ，那么对于任意整数 $x, y$ ， $a\times x + b\times y = k$ 中的 $k$ 一定是 $d$ 的倍数。（特别地，如果 $a, b$ 是整数，那么一定存在整数 $x, y$ 使得 $a\times x + b\times y = \gcd(a,b)$ ）

引入

引入扩展欧几里得算法，可用于求解以下几种问题：

给定两个非零的整数 $a$ 和 $b$ ，求一组整数解 $(x, y)$ 使得 $a\times x + b\times y = \gcd(a,b)$ 成立，其中 $\gcd(a,b)$ 表示 $a$ 和 $b$ 的最大公约数。
逆元

从欧几里得算法推导：
$\gcd(x, y) \to \gcd(y, x \mod y) \\ \Downarrow \\ \forall x_{n} = 1, y_{n} = 0 \\ \\ \forall a\times x_1 + b \times x_1 = \gcd \\ \Downarrow \\ \forall b\times x_2 + (a\mod b)\times y_2 = \gcd \\ \forall a\times x_1 + b \times x_1 = b\times x_2 + (a\mod b)\times y_2 \\ \forall a\times x_1 + b \times y_1 = a\times y_1 + b\times (x_2\times \frac{a}{b}\times y_2)$

于是反推出原来的值（ $x_1, y_1$ ）：

void exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
	if (a % b == 0) x = 0, y = 1;
	else {
		exgcd(b, a % b, y, x);
		y -= a / b * x;
	}
}

证明：
[TODO]

求同余式

对两个整数 $a, b$ ，如果它们除以 $d$ 的余数相同，则称它们模 $d$ 同余，记作 $a\equiv b (\mod d)$ 。

在同余号两侧同时加、减、乘任意整数，同余式仍成立。

我们设一个同余式 $ax\equiv c (\mod m)$ ，那么可以分讨求解：

若 $c\mod \gcd(a,m) \neq 0$ ，则同余方程 $ax\equiv c(\mod\ m)$ 无解。
若 $c\mod \gcd(a, m) = 0$ ，则同余方程的解为 $x’ = x + \frac{\gcd(a, m)}{m}\times \mathbb{N} $。

求逆元

对任意给定的 $x$ 和 $p$ ，显然 $\times x ^ {-1} \equiv 1 (\mod p)$ 。可以利用
这个式子计算 $x ^ {-1}$ 。

其中 $x$ 和 $p$ 是已知量，所以上式是一个不定方程， $x ^ {−1}$ 和 $k$
是变量。用 $\texttt{exgcd}$ 求解可以得到 $x ^ {−1}$ 。

$\texttt{C++}$ 代码（线性求逆元）：

int n, p, inv[3000010];
signed main() {
    cin >> n >> p;
    inv[1] = 1;
    cout << 1 << endl;
    for (int i = 2; i <= n; i ++) {
        inv[i] = (int)(p - p / i) * inv[p % i] % p;
        printf("%lld\n", inv[i]);
    }
    return 0;
}