题解：AT_joig2022_f タクシー 2 (Taxis 2)

首先我们看到：

• 出租车为红色时，坐车后带的钱变为 $a-1$ 元。
• 出租车为蓝色时，坐车后带的钱变为 $\lfloor \frac{a}{2}\rfloor$ 元。

我们看到 $\lfloor \frac{a}{2}\rfloor $ 和 $a-1$，不难想到单源最短路。

考虑如何做单源最短路（这里采用 $\text{Dijkstra}$）：

• $a-1$ 可以直接做。
• $\lfloor \frac{a}{2}\rfloor $ 可以考虑分层图。

什么是分层图？P4568 飞行路线 了解一下：

• 所谓分层图，即把一整个完整的图，分为若干层，每层对应着原图中的某种状态。

• 分层图每一层大致有如下特点：

  1. 每一层极为相似甚至相同，以至于通常只需要在逻辑上划分出层次即可；
  2. 层层之间有拓扑序；
  3. 每一层都对应原图中的某一种状态。

分层图该如何去做呢：

• 层数不会超过 $O(\log L)$ 层。
• 考虑维护第 $k$ 层边权，因为我们分的是 $\lfloor \frac{a}{2}\rfloor$ 的情况，所以第 $k$ 层的边权就是 $2^k$。
• 然后我们正常的跑一边最短路就可以了，注意加上边权。

如图所示：

我们直接用 $\text{Dijkstra}$ 将每层跑一遍即可，时间复杂度 $O(m\log L\log m)$。

最后找最优答案输出，完结撒花~