再探基于L0测度的流场平滑

视频网址：https://www.bilibili.com/video/av37567072/

代码网址：https://download.youkuaiyun.com/download/lykymy/10833542

实现思想

本次实验主要是根据《Denoising point sets via L0 minimization》以及《Image Smoothing via L0 Graient Minimization》这两篇论文实现的。在这两篇论文中它们都涉及到同一个思想，那就是L0范式的优化问题。其实际上就是借助辅助变量，将L0优化问题转化为L2优化问题，从而较为方便地进行求解。在这，我们可以发现，针对不同的处理对象，其设计的函数也不相同。下面将具体进行介绍。

关于L0以及其他的相关范式的定义，可以参考我写的相关博客。

L0范式实际上就是求解一个向量中非0向量的个数，其具体的表达式如下所示：

其中符号|*|0就是代表求解非0的个数。

我们的目的便是为了实现L0能量公式的最小化，即如下所示：

由于该公式很难直接求解出最优问题，因此需要引入辅助变量，将其转化为基于L2的范式进行最优解的求取。因此，上述公式可以转化为下列公式：

下面就需要根据具体进行具体分析：

针对一维的信号，S是表示输入图像，D(S)是表示向量中非0的个数

针对二维的图像，S是表示图像中每个像素的颜色，D(S)是表示颜色的梯度

针对三维的图像，S是表示网格中点的位置，D(S)是表示基于Laplcaian算子的边缘的导数

为了更好的求解上述公式，我们需要将其分解为两个子问题：一个是求解S，另一个是求解辅助变量。

在求解辅助变量的时候，我们需要将S看成是一个常量，利用下述公式进行求解

通过归纳证明，可以得出