树状数组

树状数组倍增 ai​离散化后,第i个数出现过的次数。treei​树状数组。 阅读详情

时间复杂度

树状数组是一个查询和修改的时间复杂度都为 l o g ( n ) log(n) log(n)的数据结构。一般来说树状数组能解的题目,线段树都能解,但是线段树能解的问题,树状数组不一定能解。但是树状数组的有点在于方便实现,代码量少。

树状数组的结构

在这里插入图片描述

图中的A数组是原来的数组,C数组就是树状数组,如果先将A数组的每个元素都先放在C数组中,则:
C数组中每一位所存的信息都由前面的某些位的信息构成,以求A的前缀和为例
C 1 C_1 C1​中存放的和就是 C 1 C_1 C1​
C 2 C_2 C2​中存放的和是 C 1 + C 2 C_1+C_2 C1​+C2​
C 3 C_3 C3​中存放的和就是 C 3 C_3 C3​
C 4 C_4 C4​中存放的和就是 C 2 + C 3 + C 4 C_2+C_3+C_4 C2​+C3​+C4​
…

如何去寻找树状数组中每一位所对应的其他位

假设当前位是i,现在要将i位置的和加到i后面的某些位上。
树状数组每个位置的下标其实是以二进制来对应的,例如:

1d=1b
2d=10b=1b+1b
3d=11b
4d=100b=11b+1b=10b+10b

即将i写成2进制,并从右往左找,找到第一个1,并用i加上这个1所对应的的权值,就是i后面的第一个要找的位。
那么如何高效的寻找上述的1成为这个数据结构的关键。
对任意的一个数i(二进制是xxxx1...),它的相反数-i(二进制是XXXX1...)
上面表达式二进制中的xxxx取反是XXXX,...表示不定数量的0
那么求从右往左的第一个1所对应的的权值那就是 i & ( − i ) i\&(-i) i&(−i),一般用lowbit(i)表示这个值

如何构建和更新树状数组

对树状数组而言,构建和更新其实是一样的操作:

  • 先将A数组中的每一个数都放在C数组的 1 1 1~ N N N中
  • 然后对C数组中的每一个元素将其下标i不断地加上lowbit(i),直到大于 N N N为止,这样一个树状数组就构建完成

如何查询前缀和

查询A数组中下标为i的前缀和

  • 先定义一个sum存放和
  • sum不断地累加 C i C_i Ci​,且每次累加后令 i − = l o w b i t ( i ) i-=lowbit(i) i−=lowbit(i),直到i<1为止

练手题:如何用树状数组求数组中的中位数

树状数组详解 树状数据结构,通常维护一些带有差分性质的区间问题,比如单点加,单点乘,查询区间和,前后缀最大值、最小值等。线段树得以快速修改和查询在于下传懒标记,而树状数组则是每次修改时,将标记上传,查询的时候不用像线段树一样每次 。区别之处在于标记传送的方式的不同。树状数组的图示: 和线段树不同,我们定义一个点,其儿子的范围(就是存的哪一个区间的范围)是 [i−2k+1,i][i-2^k+1,i][i−2k+1,i] 其中 kkk 是 iii 二进制下从后往前第一个为 111 的位置,下标从0开始计算,我们称这个值为 l 阅读详情

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B. Palm", title = "Prediction as a candidate for learning deep hierarchical models of data", year = "2012",}```Contact: rasmusbergpalm at gmail dot comDirectories included in the toolbox-----------------------------------`NN/` - A library for Feedforward Backpropagation Neural Networks`CNN/` - A library for Convolutional Neural Networks`DBN/` - A library for Deep Belief Networks`SAE/` - A library for Stacked Auto-Encoders`CAE/` - A library for Convolutional Auto-Encoders`util/` - Utility functions used by the libraries`data/` - Data used by the examples`tests/` - unit tests to verify toolbox is workingFor references on each library check REFS.mdSetup-----1. Download.2. addpath(genpath('DeepLearnToolbox'));Example: Deep Belief Network---------------------```matlabfunction test_example_DBNload mnist_uint8;train_x = double(train_x) / 255;test_x = double(test_x) / 255;train_y = double(train_y);test_y = double(test_y);%% ex1 train a 100 hidden unit RBM and visualize its weightsrand('state',0)dbn.sizes = [100];opts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;opts.momentum = 0;opts.alpha = 1;dbn = dbnsetup(dbn, train_x, opts);dbn = dbntrain(dbn, train_x, opts);figure; visualize(dbn.rbm{1}.W'); % Visualize the RBM weights%% ex2 train a 100-100 hidden unit DBN and use its weights to initialize a NNrand('state',0)%train dbndbn.sizes = [100 100];opts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;opts.momentum = 0;opts.alpha = 1;dbn = dbnsetup(dbn, train_x, opts);dbn = dbntrain(dbn, train_x, opts);%unfold dbn to nnnn = dbnunfoldtonn(dbn, 10);nn.activation_function = 'sigm';%train nnopts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;nn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.10, 'Too big error');```Example: Stacked Auto-Encoders---------------------```matlabfunction test_example_SAEload mnist_uint8;train_x = double(train_x)/255;test_x = double(test_x)/255;train_y = double(train_y);test_y = double(test_y);%% ex1 train a 100 hidden unit SDAE and use it to initialize a FFNN% Setup and train a stacked denoising autoencoder (SDAE)rand('state',0)sae = saesetup([784 100]);sae.ae{1}.activation_function = 'sigm';sae.ae{1}.learningRate = 1;sae.ae{1}.inputZeroMaskedFraction = 0.5;opts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;sae = saetrain(sae, train_x, opts);visualize(sae.ae{1}.W{1}(:,2:end)')% Use the SDAE to initialize a FFNNnn = nnsetup([784 100 10]);nn.activation_function = 'sigm';nn.learningRate = 1;nn.W{1} = sae.ae{1}.W{1};% Train the FFNNopts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;nn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.16, 'Too big error');```Example: Convolutional Neural Nets---------------------```matlabfunction test_example_CNNload mnist_uint8;train_x = double(reshape(train_x',28,28,60000))/255;test_x = double(reshape(test_x',28,28,10000))/255;train_y = double(train_y');test_y = double(test_y');%% ex1 Train a 6c-2s-12c-2s Convolutional neural network %will run 1 epoch in about 200 second and get around 11% error. %With 100 epochs you'll get around 1.2% errorrand('state',0)cnn.layers = { struct('type', 'i') %input layer struct('type', 'c', 'outputmaps', 6, 'kernelsize', 5) %convolution layer struct('type', 's', 'scale', 2) %sub sampling layer struct('type', 'c', 'outputmaps', 12, 'kernelsize', 5) %convolution layer struct('type', 's', 'scale', 2) %subsampling layer};cnn = cnnsetup(cnn, train_x, train_y);opts.alpha = 1;opts.batchsize = 50;opts.numepochs = 1;cnn = cnntrain(cnn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = cnntest(cnn, test_x, test_y);%plot mean squared errorfigure; plot(cnn.rL);assert(er<0.12, 'Too big error');```Example: Neural Networks---------------------```matlabfunction test_example_NNload mnist_uint8;train_x = double(train_x) / 255;test_x = double(test_x) / 255;train_y = double(train_y);test_y = double(test_y);% normalize[train_x, mu, sigma] = zscore(train_x);test_x = normalize(test_x, mu, sigma);%% ex1 vanilla neural netrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);opts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samples[nn, L] = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.08, 'Too big error');%% ex2 neural net with L2 weight decayrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.weightPenaltyL2 = 1e-4; % L2 weight decayopts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex3 neural net with dropoutrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.dropoutFraction = 0.5; % Dropout fraction opts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex4 neural net with sigmoid activation functionrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.activation_function = 'sigm'; % Sigmoid activation functionnn.learningRate = 1; % Sigm require a lower learning rateopts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex5 plotting functionalityrand('state',0)nn = nnsetup([784 20 10]);opts.numepochs = 5; % Number of full sweeps through datann.output = 'softmax'; % use softmax outputopts.batchsize = 1000; % Take a mean gradient step over this many samplesopts.plot = 1; % enable plottingnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex6 neural net with sigmoid activation and plotting of validation and training error% split training data into training and validation datavx = train_x(1:10000,:);tx = train_x(10001:end,:);vy = train_y(1:10000,:);ty = train_y(10001:end,:);rand('state',0)nn = nnsetup([784 20 10]); nn.output = 'softmax'; % use softmax outputopts.numepochs = 5; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 1000; % Take a mean gradient step over this many samplesopts.plot = 1; % enable plottingnn = nntrain(nn, tx, ty, opts, vx, vy); % nntrain takes validation set as last two arguments (optionally)[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');```[![Bitdeli Badge](https://d2weczhvl823v0.cloudfront.net/rasmusbergpalm/deeplearntoolbox/trend.png)](https://bitdeli.com/free "Bitdeli Badge")

【树状数组】学习树状数组

我在网上搜索到一些优秀的博客学习的树状数组,以下是参考的博客: 一维树状数组 搞懂树状数组:点击打开链接 树状数组学习笔记:点击打开链接 完全认识树状数组:点击打开链接 还有算法训练指南中的讲解; 以上的链接是关于树状数组的原理讲解; 随着时间可能会忘记,可以画一个图解便于理解(训练指南上的图解比较好!) //心得: 刚开始用树状数组写题的时候,不知道如何下手。这个树状数

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