树状数组总结

最新推荐文章于 2025-02-14 16:07:16 发布

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#算法 #数据结构

声明：该文章同步发表于我的洛谷博客。

从名字上来看，树状数组就是一个形状像树的数组。

二叉树和树状数组结构对比图：

可以发现树状数组虽然和二叉树结构相近，但是删除了一部分。

为什么呢？

再给出另一张结构图：

可以发现，每一层中的第偶数个格子是无用的，第奇数个格子是有用的，

这是因为，对于第 $i$ 层第 $j$ 个格子（ $j \bmod 2=0$ ），一定可以用第 $i-1$ 层第 $j-1$ 个格子减去第 $i$ 层第 $j-1$ 个格子得到。

那么怎么求解呢？

我们用 $c_i$ 维护一个树状数组。

初始化：

$c_1=a_1\\ c_2=a_1+a_2\\ c_3=a_3\\ c_4=a_1+a_2+a_3+a_4\\ \cdots$

是不是挺麻烦的？

没错！我们可以用前缀和计算，记为 $sum$ 。

得出结论： $c_i=sum_i-sum_{i-f(i)}$ （ $f(i)=i \land (-i)$ ）。

Q：函数 $f$ 是干什么的？

A：对于 $i$ ， $f(i)$ 的返回值为 $i$ 的二进制抹掉最后一位 $0$ 。

用 C++ 代码表示为：

int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}

Q：ST 表的区间长度为 $2^j$ 次方，那么树状数组的区间长度为多少呢？

A：根据上面的式子，可以得出 $c_i$ 表示的区间长度为 $f(i)$ 。

单点修改，区间查询

说了这么多，还没讲树状数组怎么用。

如果我们修改了第 $i$ 个点，那么只需要更新 $i$ 以及它的父节点，即：

void modify(int x,int val){
    while(x<=n){
        c[x]+=val;
        x+=lowbit(x);
    }
}

在查询时，我们将 $i$ 和它的子节点的值加起来，实现为：

void modify(int x,int val){
    while(x<=n){
        c[x]+=val;
        x+=lowbit(x);
    }
}

那怎么区间查询呢？如果我们维护的是区间 $[l,r]$ 元素之和，那么可以用类似于前缀和查询的操作，将区间 $[1,r]$ 的结果减去区间 $[1,l-1]$ 的结果。

区间修改，单点查询

对于这种情况，单点修改已经不能满足我们的要求（总不可能一个一个去加吧），既然是单点查询，那么我们可以考虑使用差分的思想。

假设我们要将区间 $[l,r]$ 的每一个数加上 $x$ ，那么我们将 $l$ 加上 $x$ ， $r+1$ 减去 $x$ ，注意这种情况 $c$ 不需要初始化，因为 $c$ 维护的是差分的值。

查询时，输出 a[i]+query(i)。

区间修改，区间查询

好像大家都说这玩意用线段树才能做？

其实某些特殊的地方还是可以用的。

放道例题：P2184 贪婪大陆。

一张示意图：

假设我们已经求出了区间 $[l1,r1]$ ， $[l2,r2]$ 的结果，现在我们添加一个区间 $[l3,r3]$ ：

不难发现，区间 $[l3,r3]$ 内树的种类等于 $[1,r3]$ 中左边界的数量减去区间 $[1,l-1]$ 中右边界的数量。

所以我们就将这题转化为一道树状数组单点修改，区间查询的题目了。

注意：树状数组对于区间修改，区间查询问题仅能解决一部分特殊的问题。所以大家还是老老实实地去学习线段树吧。

离散化

本来不想写的，可以某些地方要用啊。

假设某道题，元素的最大数值达到了 $10^9$ ，但是元素数量只有 $10^5$ ，这时候你会选择怎么办呢？

我们通常使用的方法为离散化。

方法1

首先将原数组复制一份。

然后将副本排序，将副本中的数据去重（否则可能会出现数字相同但是离散化后的值不同的情况）。

将原数组的每一个元素在副本中的位置作为离散化后的值。

方法2

使用数据结构（用 C++ 自带的 map/unordered_map）。

对于每一个数据，如果之前没出现过，那么给它分配一个编号并返回，否则返回之前分配的编号。

Q：是使用 map 更优还是用 unordered_map 更优呢？

A：根据情况而定。一般情况下 unordered_map 会比 map 要更快，但是不太稳定，容易被卡。建议在 OI 赛制中或打 Codeforces 时使用 map，因为在 OI 赛制中看不到实时反馈，Codeforces 比赛中用 unordered_map 基本会被其他选手 Hack 掉。如果在其他赛制中用 map 只超时了一点点，可以考虑用 unordered_map 卡常。