[AGC 023 -F] 01 on Tree

最新推荐文章于 2023-11-17 08:44:02 发布

LPA20020220

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分类专栏： Atcoder 动态规划贪心文章标签： Atcoder 贪心

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解析AtCoder上一道关于有根树的复杂DP问题，通过巧妙地利用优先队列和并查集优化合并过程，实现逆序对的最小化计数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Atcoder传送门

题目大意

给你一棵有 $N$ 个节点的有根树，根节点为 $1$ 。给每个节点一个权值 $V_i$ 为 $0$ 或 $1$ 。现在要求将树的标号对应在一个序列 $a_1,a_2,...,a_N$ 上，并且 $a_i$ 的右侧没有 $i$ 的祖先节点。求这样的序列中逆序对最少的个数。

输入输出格式

输入格式

第一行一个整数 $N$ 。

第二行 $N-1$ 个整数，分别代表 $fat[2],fat[3],fat[4],...,fat[N]$ 。

第三行 $N$ 个整数，代表 $V_1,V_2,V_3,...,V_N$ 。

输出格式

一行一个整数表示逆序对最少的个数。

输入输出样例

输入样例#1

6
1 1 2 3 3
0 1 1 0 0 0

输出样例#1

输入样例#2

1

0

输出样例#2

输入样例#3

15
1 2 3 2 5 6 2 2 9 10 1 12 13 12
1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0

输出样例#3

数据范围

$1≤N≤2×10^5$
$1≤fat[i]<i$ $( 2≤i≤N )$
$0≤Vi≤1( 1≤i≤N )$

解题分析

此题真是神题…

考虑一开始每个节点为单独的一个点，我们将它们合并的过程。

对于一个节点 $A$ 及其合并得到的一些点构成的集合 $S_A$ ，记 $f(S_A)$ 为其中0的个数， $g(S_A)$ 为其中1的个数。

我们可以发现，每次合并 $\frac{f(S_A)}{g(S_A)}$ 值最大的点到 $fat[A]$ 中最优。

具体而言，我们先不考虑 $S_A$ 和 $S_{fat[A]}$ 内的贡献（我们在合并它们内部的点的时候已经考虑过了），它们之间对答案的贡献是 $f( S_{fat[A]})\times g(S_A)$ 。如果 $fat[A]$ 有另一个儿子 $B$ ，而 $\frac{f(S_B)}{g(S_B)} < \frac{f(S_A)}{g(S_A)}$ ，那么对于 $fat[A]$ 而言它们的排列顺序不影响逆序对个数。如果排列顺序为 $S_{fat[A]},S_A,S_B$ ， $S_A$ 与 $S_B$ 间的贡献为 $f(S_B)\times g(S_A)<g(S_B)\times f(S_A)$ ，所以我们应该将 $\frac{f(S_A)}{g(S_A)}$ 值最大的点优先合并到 $fat[A]$ 中。

剩下的就是用 $priority\ queue$ 或者 $set$ 维护这个值，用并查集维护合并状态即可。注意合并的时候要将 $fat[A]$ 也先 $erase$ 掉，因为合并 $f(S_A)$ 和 $g(S_A)$ 的时候 $set$ 中 $S_{fat[A]}$ 的位置是没有变的。

代码如下：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <set>
#define R register
#define IN inline
#define W while
#define IN inline
#define gc getchar()
#define MX 200500
template <class T>
IN void in(T &x)
{
    x = 0; R char c = gc;
    W (!isdigit(c)) c = gc;
    W (isdigit(c))
    x = (x << 1) + (x << 3) + c - 48, c = gc;
}
int col[MX][2], fat[MX], bel[MX], dot;
struct Vertex
{int id;};
IN bool operator < (const Vertex &x, const Vertex &y)
{
    int x0 = col[x.id][0], x1 = col[x.id][1], y0 = col[y.id][0], y1 = col[y.id][1];
    return 1ll * x0 * y1 > 1ll * x1 * y0 || 
    (1ll * x0 * y1 == 1ll * x1 * y0 && x.id > y.id);
}
std::set <Vertex> st;
long long ans;
namespace DSU
{
    int find(R int now) {return bel[now] == now ? now : bel[now] = find(bel[now]);}
    IN void combine(const int &from, const int &to) {bel[from] = find(to); col[to][0] += col[from][0], col[to][1] += col[from][1];}
}
int main(void)
{
    in(dot); R int a, now, fa;
    for (R int i = 2; i <= dot; ++i) in(fat[i]);
    for (R int i = 1; i <= dot; ++i) in(a), ++col[i][a], bel[i] = i;
    for (R int i = 2; i <= dot; ++i) st.insert({i});
    W (!st.empty())
    {
        now = DSU::find(st.begin() -> id);
        st.erase(st.begin());
        fa = DSU::find(fat[now]); st.erase({fa});
        ans += 1ll * col[fa][1] * col[now][0];
        DSU::combine(now, fa);
        if(fa != 1) st.insert({fa});
    }
    printf("%lld", ans);
}