[Luogu P2375] [NOI2014]动物园

题目描述

近日，园长发现动物园中好吃懒做的动物越来越多了。例如企鹅，只会卖萌向游客要吃的。为了整治动物园的不良风气，让动物们凭自己的真才实学向游客要吃的，园长决定开设算法班，让动物们学习算法。

某天，园长给动物们讲解$KMP$算法。

园长：“对于一个字符串 $S$ ，它的长度为 $L$ 。我们可以在 $O(L)$的时间内，求出一个名为$next$的数组。有谁预习了$next$数组的含义吗？”

熊猫：“对于字符串 $S$的前 $i$ 个字符构成的子串，既是它的后缀又是它的前缀的字符串中（它本身除外），最长的长度记作 $next[i]$ 。”

园长：“非常好！那你能举个例子吗？”

熊猫：“例 $S$ 为$abcababc$，则 $next[5]=2$ 。因为 $S$ 的前 $5$ 个字符为$abcab$，$ab$既是它的后缀又是它的前缀，并且找不到一个更长的字符串满足这个性质。同理，还可得出$next[1] = next[2] = next[3] = 0 ， next[4] = next[6] = 1，next[7] =2, next[8] = 3$ 。”

园长表扬了认真预习的熊猫同学。随后，他详细讲解了如何在 $O(L)$的时间内求出$next$数组。

下课前，园长提出了一个问题：“$KMP$算法只能求出$next$数组。我现在希望求出一个更强大$num$数组一一对于字符串 $S$ 的前$i$ 个字符构成的子串，既是它的后缀同时又是它的前缀，并且该后缀与该前缀不重叠，将这种字符串的数量记作 $num[i]$ 。例如 $S$ 为$aaaaa$，则 $num[4] = 2$ 。这是因为 $S$ 的前 4 个字符为$aaaa$，其中$a$和$aa$都满足性质‘既是后缀又是前缀’，同时保证这个后缀与这个前缀不重叠。而$aaa$虽然满足性质‘既是后缀又是前缀’，但遗憾的是这个后缀与这个前缀重叠了，所以不能计算在内。同理，$num[1] = 0,num[2] = num[3] = 1,num[5] = 2$ 。”

最后，园长给出了奖励条件，第一个做对的同学奖励巧克力一盒。听了这句话，睡了一节课的企鹅立刻就醒过来了！但企鹅并不会做这道题，于是向参观动物园的你寻求帮助。你能否帮助企鹅写一个程序求出 $num$数组呢？

特别地，为了避免大量的输出，你不需要输出 $num[i]$ 分别是多少，你只需要输出所有$( num[i]+1 )$的乘积，对 $1,000,000,007$ 取模的结果即可。

输入输出格式

输入格式：

第 1 行仅包含一个正整数 $n$ ，表示测试数据的组数。
随后 $n$ 行，每行描述一组测试数据。每组测试数据仅含有一个字符串 $S$ ， $S$ 的定义详见题目描述。数据保证 $S$ 中仅含小写字母。输入文件中不会包含多余的空行，行末不会存在多余的空格。

输出格式：

包含 $n$ 行，每行描述一组测试数据的答案，答案的顺序应与输入数据的顺序保持一致。对于每组测试数据，仅需要输出一个整数，表示这组测试数据的答案对 $1,000,000,007$取模的结果。输出文件中不应包含多余的空行。

输入输出样例

输入样例#1：

3
aaaaa
ab
abcababc

输出样例#1：

36
1
32 

解题分析

首先我们发现在求出$next$数组时可以顺带求出弱化版的$num$数组： 长度可超过$\frac{i}{2}$的总数。现在考虑如何去掉这些不合法的情况。

显然对于每个$num[i]$我们不能暴力向前跳， 因为如果数据全是$a$的话， $next[i]$将会等于$i-1$， 一下子被卡到了$O(N^2)$。 所以我们可以参照$next$数组的确定方法， 每次从上一个找到的位置向后跳， 即可大大优化时间复杂度至O(N)。

感觉NOI2014是真的水...蒟蒻博主似乎能A3道题
代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define R register
#define IN inline
#define gc getchar()
#define W while
#define MX 1000005
#define ll long long
#define MOD 1000000007
int tim, ans[MX], len, nex[MX], now, pre;
char buf[MX];
int main(void)
{
    scanf("%d", &tim);
    W(tim--)
    {
        scanf("%s", buf);
        memset(nex, 0, sizeof(nex));
        len = std::strlen(buf);
        ans[0] = 0; ans[1] = 1; now = 1, pre = 0;
        W (now < len)//筛出nex数组
        {
            W (pre && buf[now] != buf[pre]) pre = nex[pre];
            pre += (buf[now] == buf[pre]), nex[now + 1] = pre, ans[now + 1] = ans[pre] + 1, ++now;
        }
        ll ret = 1;
        now = 1, pre = 0;
        int bound;
        W (now < len)
        {//pre沿着之前的pre继续跳， 因为肯定前面的pre的位置不会超过now/2
            bound = now + 1;
            W (pre && buf[now] != buf[pre]) pre = nex[pre];
            pre += (buf[now] == buf[pre]);
            W ((pre << 1) > bound) pre = nex[pre];//跳多了， 往前跳
            ret = ret * (ans[pre] + 1) % MOD;
            ++now;
        }
        printf("%lld\n", ret);
        }
}