【bzoj4318】OSU! 期望DP

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概率与期望

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简化版osu游戏规则中，根据连续1的个数计算期望得分。给定操作次数和成功率，求期望分数，保留1位小数。递推方法解决。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

osu 是一款群众喜闻乐见的休闲软件。
我们可以把osu的规则简化与改编成以下的样子:
一共有n次操作，每次操作只有成功与失败之分，成功对应1，失败对应0，n次操作对应为1个长度为n的01串。在这个串中连续的 X个1可以贡献X^3 的分数，这x个1不能被其他连续的1所包含（也就是极长的一串1，具体见样例解释）
现在给出n，以及每个操作的成功率，请你输出期望分数，输出四舍五入后保留1位小数。

Input

第一行有一个正整数n,表示操作个数。接下去n行每行有一个[0,1]之间的实数，表示每个操作的成功率。

Output

只有一个实数，表示答案。答案四舍五入后保留1位小数。

Sample Input

Sample Output

6.0

HINT

【样例说明】

000分数为0，001分数为1，010分数为1，100分数为1，101分数为2，110分数为8，011分数为8，111分数为27，总和为48，期望为48/8=6.0

N<=100000

Source

期望是啥能吃吗智障.jpg

算一下每多一个1的贡献，是 $(x+1)^3-x^3$ ，然后惊讶的发现只需要维护一下平方和一次方就行了…递推一下

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
using namespace std;

const int SZ = 200010;

double g1[SZ],g2[SZ],f[SZ];

int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        double x;
        scanf("%lf",&x);
        g1[i] = (g1[i - 1] + 1) * x;
        g2[i] = (g2[i - 1] + 2 * g1[i - 1] + 1) * x;
        f[i] = f[i - 1] + (3 * g2[i - 1] + 3 * g1[i - 1] + 1) * x;
    }
    printf("%.1lf\n",f[n]);
    return 0;
}