向心加速度公式的推导

最新推荐文章于 2025-12-06 17:00:00 发布

转载最新推荐文章于 2025-12-06 17:00:00 发布 · 1.3k 阅读

·

0

·

CC 4.0 BY-SA版权

原文链接：https://www.zhihu.com/people/llda-lin

文章标签：

#学习 #数学建模

这是转载哈，这个求向心加速度非常巧妙，观之茅塞顿开。感谢香蕉吃了蛇
原贴链接为 https://zhuanlan.zhihu.com/p/483188685

高中物理课本《曲线运动》一章中给出了向心加速度的计算公式 $a=\omega ^{2}r$ 或 $a=\frac{v ^{2}}{r}$ ，但并没有给出推导方法。然而，向心加速度公式的推导可谓“条条大路通罗马”，是一个十分有趣的数学问题，无论是通过三角、向量、解析几何还是极限、微积分等高等数学方法都可以进行求解，在此整理几个最为简便的方法供大家参考。

一、极限+相似三角形

设圆周的半径为 $r$ ,物体从A点开始做匀速圆周运动,当转过的弧度为 $\theta$ 时，到达B点，轨迹长为 $l$

割线 $AB$ 长为 $s$

由于物体线速度方向总与半径垂直，作以出末速度 $v,v^{'}$ 为边的矢量三角形，不难发现相似三角形 $\triangle OAB \sim \bigtriangleup O_{2}XY$

易得 $\frac{r}{v} = \frac{s}{\Delta v}$

当 $t\rightarrow0$ 时 , $\theta\rightarrow0$ ，则 $l\rightarrow s$

所以 $\frac{r}{v}=\frac{l}{\Delta v}$

因为 $l=v\times \Delta t$ ， $\Delta v=a\times\Delta t$

所以 $\frac{r}{v}=\frac{v}{a}$

即 $a = \frac{v^{2}}{r}$

二、微积分

设物体角速度为 $\omega$ ，则 $t$ 时刻转过的角度为 $\omega t$

将每个时刻物体的加速度和线速度沿 $x,y$ 轴方向分解

设 $t$ 时刻加速度的x轴方向分量为 $f(t)$

则 $f(t)=a_{0} cos\omega t$

$\int_{0}^{t} f(t)dt=\frac{a_{0}}{\omega}sin\omega t$

tt 时刻线速度的x轴方向分量的变化量 $\Delta v=v_{0}sin\omega t-v_{0}sin0=v_{0}sin\omega t$

由 $a=\frac{\Delta v}{t}$ 得 $\frac{a_{0}}{\omega}sin\omega t = v_{0}sin\omega t$

$\Rightarrow a_{0}=\omega v_{0}$

$\Rightarrow a=\omega v$

三、换系

由于加速度和线速度方向始终垂直，周期相同

我们不妨令线速度矢量的起点为定点，加速度做以线速度为半径的“圆周运动”

则有 $\frac{2\pi v}{T}=a$

又因为周期 $T$ 与原周期相同
所以 $\frac{2\pi}{T}=\omega$

所以 $a=\omega v$

评论

被折叠的条评论为什么被折叠?

到【灌水乐园】发言

查看更多评论

添加红包

成就一亿技术人!

hope_wisdom

发出的红包

实付元

使用余额支付

点击重新获取

扫码支付

钱包余额 0

抵扣说明：

1.余额是钱包充值的虚拟货币，按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载，可以购买VIP、付费专栏及课程。