【c++】AVL树详解

最新推荐文章于 2025-10-30 14:11:08 发布

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#AVL树 #旋转算法 #左旋右旋左右双旋右左双旋 #如何判断一棵AVL树是否正确 #数据结构c++

AVL树是一种高度平衡的二叉搜索树，其左右子树高度差不超过1，确保了高效查找。文章介绍了AVL树的特性，包括关键码比较、平衡因子和旋转算法（左旋、右旋、左右双旋、右左双旋），并讲解如何判断一棵AVL树是否正确。此外，内容涉及AVL树节点的结构，包含关键码、平衡因子和指针等元素。

AVL树是又叫平衡二叉搜索树，但是它不是完全平衡，只是近似平衡（高度平衡）。什么叫完全平衡？想象一下完全二叉树。

根据名字’二叉搜索树‘，我们可以知道它的一些性质：

1. 每个节点都有一个作为搜索依据的关键码（key），所有节点的关键码互不相同。

2. 左子树上所有节点的关键码（key）都小于根节点的关键码（key）。

3. 右子树上所有节点的关键码（key）都大于根节点的关键码（key）。

除此之外，它还具有一些它独特的性质来维持它的高度平衡。

1. 左子树和右子树的高度之差的绝对值不超过1

2. 树中的每个左子树和右子树都是AVL树

3. 每个节点都有一个平衡因子(balance factor--bf),任一节点的平衡因子是-1,0,1。(每个节点的平衡因子等于右子树的高度减去左子树

的高度)

AVL树有三个值，一个_key（关键码），一个_value（值，目前不要关心这个value是什么），一个_bf（平衡因子）。三个指针，左

孩子指针，右孩子指针，父亲指针。由此我们便得出了AVL树的结构：

template<typename K,typename V>
struct AVLTreeNode
{
	K _key;
	V _value;

	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;

	int _bf;

	AVLTreeNode(const K& key, const V& value)
		:_key(key)
		,_value(value)
		,_bf(0)
		, _left(NULL)
		, _right(NULL)
		, _parent(NULL)
	{}
};

搞懂AVL树的结构并不难，难点在于如何去维护这个结构，并用代码写出来。当我们对一棵AVL树插入一个结点的时候，我们很容易

就破坏了它高度平衡的结构（从前文我们可以知道，我们可以拿平衡因子来判断一棵树是否平衡，当一个结点的平衡因子bf 等于-2

或者2时，这个树便不再平衡。）所以我们需要做一些工作去调整插入新结点后的AVL 树。

对下图中出现的符号做一些备注：_bf - - - - 平衡因子

a，b，c，d - - - - 子树，若一个为空，都为空。若一个不为空，则都不为空，并且都平衡且满足AVL树。

parent - - - - 祖先结点，因为我们不确定根结点在哪里，所以用parent统一概括祖先结点。

①左单旋，对应插入情况如图所示，当在子树c上插入一个新结点。此时子树c 的高度变为h+1，子树b的高度为h。结点5的bf变为

1，结点3的bf变为2。此树不再平衡。