【C++】-- AVL树详解

玲娜贝儿~

已于 2022-08-31 16:02:15 修改

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分类专栏： C++ 文章标签： c++ 开发语言

于 2022-08-31 15:58:55 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/gx714433461/article/details/126581378

一、AVL树概念

1.二叉搜索树的缺点

map/multimap/set/multiset的底层都按照二叉搜索树实现，但是在【C++】-- 搜索二叉树一文中已经了解到二叉搜索树的缺点在于，假如向树中插入的元素有序或者接近有序时，二叉搜索树就会退化成单支树，时间复杂度会退化成O(N)，相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。所以map/multimap/set/multiset的底层结构对二叉搜索树做了处理，采用平衡树来实现。

2.AVL树的概念

如何避免二叉树搜索树会退化成单支树的缺点呢？

向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。为什么高度差的绝对值不超过1而不是0呢？因为如果高度差的绝对值不超过0，那么二叉树就变成满二叉树了，因此绝对值不能超过1。这就引入了平衡二叉树的概念：

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

(1)它的左右子树都是AVL树
(2)左右子树高度之差(简称平衡因子=右子树高度-左子树高度)的绝对值不超过1(-1/0/1)

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在，搜索时
间复杂度O（）。

二、AVL树定义

由于要实现AVL树的增删改查，所以定义AVL树的节点，就需要定义parent，否则插入节点时，不知道要链接到树里面哪个节点下面。

1.AVL树节点定义

节点定义：

#pragma once
#include<iostream>
using namespace std;

template<class K,class V>
class AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode<K, V>* _left;//左子树
	AVLTreeNode<K, V>* _right;//右子树
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;//父亲

	int _bf;//平衡因子

	pair<K, V> _kv;//节点

	AVLTreeNode(const pair<K, V>&, kv)
	{
		:_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_bf(0)
		, _kv(kv)
	}
	{}

};

2.AVL树定义

template<class K,class V>
struct AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
		//构造函数
	AVLTree()
		:_root(nullptr)
	{}

	void _Destroy(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}
		_Destroy(root->_left);
		_Destroy(root->_right);

		delete root;
	}

    //重载operator[]
	V& operator[](const K& key)
	{
		pair<Node*, bool> ret = Insert(make_pair(key, V()));
		return ret.first->_kv.second;
	}

	//析构函数
	~AVLTree()
	{
		_Destroy(_root);
		_root = nullptr;
	}

private:
	Node* _root;
};

三、AVL树插入

1.插入节点

插入节点需要先判断树是否为空：

（1）若为空，让该节点作为根节点

（2）若不为空，分3种情况：

①key比当前节点小，向左走

②key比当前节点大，向右走

③相等，插入失败

如果没找到节点，那么需要插入新节点

	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		//1.空树
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}

		//2.非空树
		Node* parent = _root, * cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first > kv.first)//向左找
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (cur->_kv.first < kv.first)//向右找
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else//找到了
			{
				return false;
			}
		}

		//没找到，需要插入
		cur = new Node(kv);
		if (parent->_kv.first < cur->_kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
			cur->_parent = parent;
		}