【C++】AVL树详解

好像有点东西

已于 2024-11-18 14:54:48 修改

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分类专栏： C++ 数据结构文章标签： c++ 数据结构

于 2024-02-29 21:10:59 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/muyuteacher/article/details/136353561

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上一篇已经对关联式容器set/map/multiset/multimap进行了简答的介绍，大家可能发现它们有一个共同点：其底层都是按照二叉搜索树来实现的，但是学习二叉搜索树时，已经知道当树中插入的元素有序或接近有序时，二叉搜索树的会变得极不平衡，查找操作的时间复杂度可能达到 O(n)，甚至退化成链表。因此map、set等关联式容器的底层结构是对二叉树进行了平衡处理，即采用平衡树来实现。

一、AVL树的概念

AVL树是一种自平衡二叉搜索树，它得名于它的发明者 Adelson-Velsky 和 Landis。AVL树通过在每次插入或删除节点时进行旋转操作来保持树的平衡，以确保每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1，降低树的高度，从而实现较高效率的查找、插入和删除操作。

AVL树的性质：

它的左右子树都是AVL树

每个节点的左子树和右子树的高度差（平衡因子）不超过1。

如果插入或删除操作导致树失去平衡，AVL树会通过旋转操作（包括单旋转和双旋转）来重新平衡。

若一个AVL树有n个节点，它的查找、插入和删除操作的时间复杂度都是 O(log_2 n)，高度可保持在 O(log_2 n)。

二、AVL树节点的定义

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;
	pair<K, V> _kv;

	int _bf;//平衡因子balance factor

	AVLTreeNode(const pair<K,V> kv)
		:_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_kv(kv)
		,_bf(0)
	{}
};

三、AVL树的操作

3.1 AVL树的平衡因子

AVL 树的平衡因子是指每个节点的左子树高度减去右子树高度的值，即左子树高度 - 右子树高度。对于任意一个节点，其平衡因子可以是 -1、0 或 1。

AVL 树的平衡因子定义如下：

如果一个节点的平衡因子为 -1，表示该节点的右子树比左子树高度高 1；
如果一个节点的平衡因子为 0，表示该节点的左子树和右子树高度相等；
如果一个节点的平衡因子为 1，表示该节点的左子树比右子树高度高 1。

AVL 树通过保持每个节点的平衡因子为 -1、0 或 1 来确保树的平衡。当插入或删除节点后，需要通过旋转操作来调整各个节点的平衡因子，以确保整棵树仍保持平衡状态。

3.2 AVL树的插入

在 AVL 树中插入元素的过程如下：

按照二叉搜索树的规则，找到新元素应该插入的位置，将其作为叶子节点插入到树中

在插入新元素后，从插入点开始向上回溯，更新每个祖先节点的平衡因子，并检查它们是否失去了平衡。

如果发现某个节点失去了平衡，则需要对其进行旋转操作，以恢复整棵树的平衡。

步骤一：按照二叉搜索树的规则插入新元素

template<class K, class V>
class AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		Node* pnode = new Node(kv);

		if (_root == nullptr)
		{
			_root = pnode;
			return true;
		}

		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;

		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < pnode->_kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > pnode->_kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}

		if (parent->_kv.first < pnode->_kv.first)
		{
			parent->_right = pnode;
			pnode->_parent = parent;
		}
		else
		{
			parent->_left = pnode;
			pnode->_parent = parent;
		}

		//开始处理平衡因子
        //...

private:
	Node* _root = nullptr;
};

步骤二：更新每个祖先节点的平衡因子，检查它们是否失去了平衡。

在插入元素之前，parent的平衡因子分为三种情况：0，1，-1，插入后分为以下两种情况：

如果cur插入到parent的左侧，只需给parent的平衡因子-1即可
如果cur插入到parent的右侧，只需给parent的平衡因子+1即可

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
        //.....
         
        //开始处理平衡因子
		cur = pnode;
		while (parent)
		{
			if (cur == parent->_left)
			{
				parent->_bf--;
			}
			else
			{
				parent->_bf++;
			}

			if (parent->_bf == 0)
			{
				break;
			}
			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
			{
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
			{
			    //失去了平衡，需要进行旋转
                //旋转操作。。。
			}
			else
			{
				assert(false);
			}
		}
		return true;
	}

插入后，parent节点的平衡因子发生变化，有这么三种情况：0，正负1，正负2。