ZOJ 1864 A very easy task （求自然数幂的和）java大数

本文介绍了一种使用递归和记忆化技术求解特定数学问题的方法，通过递推公式进行高效计算，并利用Java的大数处理能力实现。文章详细解释了递归公式的推导过程，以及如何通过记忆化避免重复计算，提高算法效率。

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题意：求 ${\color{Blue} \sum_{i=1}^{n}i^{k}}$ 。

题解：

参考神犇博客：神犇

递推求法，由于

那么对于所有的累加得到

进一步得到

可以看出这是一个递推式，如果我们记

那么得到如下递归式

递归出口是

为了提高效率，在递归的时候需要记忆化。由于要用到大数，用Java实现。

import java.math.*;
import java.util.*;
 
public class Main {
	
	public static final int N = 105;
	public static final BigInteger FLAG = (BigInteger.ZERO).subtract(BigInteger.ONE);
	public static BigInteger[][] C = new BigInteger[N][N];
	public static BigInteger[] ans = new BigInteger[N];
	
	public static void Init(){
		for(int i=0; i<N; i++){
			C[i][0] = C[i][i] = BigInteger.ONE;
			if(i == 0) continue;
			for(int j=1; j<i; j++)
				C[i][j] = C[i-1][j].add(C[i-1][j-1]);
		}
	}
	
	public static BigInteger Solve(BigInteger n, int k){
		if(ans[k].compareTo(FLAG) != 0){
			return ans[k];
		}
		if(k == 1){
			ans[k] = ((n.add(BigInteger.ONE)).multiply(n)).divide(BigInteger.valueOf(2));
			return ans[k];
		}
		BigInteger tmp = BigInteger.ONE;
		for(int i=0; i<k+1; i++){
			tmp = tmp.multiply(n.add(BigInteger.ONE));
		}
		tmp = tmp.subtract(n.add(BigInteger.ONE));
		BigInteger sum = BigInteger.ZERO;
		for(int i=1; i<k; i++){
			BigInteger t = C[k+1][i+1].multiply(Solve(n, k-i));
			sum = sum.add(t);
		}
		ans[k] = (tmp.subtract(sum)).divide(BigInteger.valueOf(k+1));
		return ans[k];
	}
	
	public static void main(String[] args){
		Init();
		Scanner cin = new Scanner(System.in);
		while(cin.hasNext()){
			BigInteger n = cin.nextBigInteger();
			int k = cin.nextInt();
			for(int i=0; i<N; i++){
				ans[i] = FLAG;
			}
			System.out.println(Solve(n, k));
		}
	}
}